《数学分析》第四章 多元函数微分学(5)

xy221【证明】 由|f(x,y)?f(0,0)|?|2(x2?y2)2|?y2 34x? ???0,???4?,当

x2?y2??时， |f(x,y)?f(0,0)|?14x2?y2??

故

(x,ylim)?(0,0)f(x,y)?f(0,0)?0.

从而f(x,y)在点(0,0）处连续。 又f'f(x,0)?f(0,0)x(0,0)?limt?0x?0?0.同理f'y(0,0)?0.

令?w?f(x,y)?f(0,0)?f'0)?x?f'x(0,y(0,0)?y. 考虑 2lim?wx2y2x42，

??0?22?k?0y?kx??limy?kx(x?y)2?limkx?0(1?k2)2x4(1?k2)2即lim?w不存在。

??0?所以f(x,y)在点(0,0）处不可微。 【例5】设f(x,y)在区域D:|x|?1,|y|?1上?上的函数，且 1）对每个(x,y)??的x存在limy?yf(x,y)?g(x)；

02）lim?xf(x,y)?h(y)，关于(x,y)??中的y一致。

x0试证：limlimy?yf(x,y)?limlimf(x,y).

x?x00y?y0x?x0【证明】 由条件(2)，得

???0,??1?0.?x1,x2??,

当0?|x1?x2|??1,0?|y1?y0|??时

|f(x1,y)?f(x2,y)|?? （1）

在上面（1）式两边令y?y0，则

|g(x1)?g(x2)|??

?lim?xg(x)存在，令limg(x)?a.

x0x?x016

■

由条件2），得??2?0.当0?|x?x0|??2时 |h(y)?f(x,y)|??3. （2）

由条件1），得??3?0.当0?|y?y0|??3时 |f(x,y)?g(x)|??3. （3）

由limg(x)?a.，得??4?0.当0?|x?x0|??4时有|g(x)?a|?x?x0?3.

取??min{?1,?2,?3,?4}，当0?|x?x0|??，0?|y?y0|??时

|h(y)?a|??,

?limh(y)?a. 即limlimf(x,y)?a?limlimf(x,y). ■

y?y0x?x0y?y0y?y0x?x0例6】证明微分中值定理

设二元函数z?f(x,y)在凸区域D上两个偏导数fx,fy都存在，则对于D内 任何两点(x0,y0)，(x0??x,y0??y)?U(P0)有

f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)?fx(x0??1?x,y0??2?y)??x?fy(x0??1?x,y0??2?y)??y''''其中0??1?1,0??2?1. 【证明】

f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)?[f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0??y)]?[f(x0,y0??y)?f(x0,y0)] （1）

令?(x)?f(x,y0??y)，则由一元函数的中值定理有： ?(x0??x)??(x0)??(x0??1?x)??x （0??1?1），

'即f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0??y)?fx'(x0??1?x,y0??y)??x （0??1?1）， 同理令?(y)?f(x0,y)，可得

f(x0,y0??y)?f(x0,y0)?fy(x0,y0??2?y)??y （0??2?1）

'代入（1）式即可证明。 ■ 【例7】设二元函数f(x,y)在区域D?{(x,y)|x?y?1}上可微，且对

17

?(x,y)?D，有|?f?x|?1,|?f?y|?1,证明：对任意(x1,y1)?D,(x2,y2)?D成立：

|f(x2,y2)?f(x1,y1)|?|x2?x1|?|y2?y1|。

【证明】 应用微分中值定理，有

|f(x2,y2)?f(x1,y1)|?|f(x2,y2)?f(x2,y1)?f(x2,y1)?f(x1,y1)|?|f(x2,y2)?f(x2,y1)|?|f(x2,y1)?f(x1,y1)|?|f'y?x2,?1?||y2?y1|?|f'x??2,y1?||x2?x1|

?|x2?x1|?|y2?y1|其中?1?(x1,x2),?2?(y1,y2)。 ■ 【例8】设z?xx(x?0)求

y?z?z。 ,?x?y【解】 由z?xx(x?0)两边取对数lnz?xylnx (1)

两边对x求导有则

?z?x?z(xy?1y1?zz?xy?1?xy?1?yxxyy?1lnx。

y?1?yxlnx)?x(x?yxy?1lnx)。

同样在（1）式两端对y求导有：

1?zz?y?x(lnx)。

y2则

?z?y?xxyxy?(lnx) ■

2

【例9】证明不等式e?xlnx?x?xy?0,(x?1,y?0). 【证明】令f(x,y)?e?xlnx?x?xy.

则我们只须证明函数f(x,y)在区域D?{(x,y)| x?1,y?0} 上的最小值0即可。 …… 此处隐藏：113字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……