《数学分析》第四章 多元函数微分学(2)

2）F(x0,y0,u0,v0)?0,G(x0,y0,u0,v0)?0（为初始条件）； 3）在V内F,G具有一阶连续偏导数； 4）J??(F,G)?(U,V)在点P0处不等于零。

则在点P0的某一（四维空间）邻域U(P0)?V内，方程组

?F(x,y,u,v)?0唯一地确定了定义在点Q0(x0,y0)的某一（二维空间）邻域U(Q0)内的两?G(x,y,u,v)?0?个二元隐函数u?f(x,y),v?g(x,y), 使得：

①u0?f(x0,y0),v0?g(x0,y0),且当(x,y)?U(Q0)时，

(x,y,f(x,y),g(x,y))?U(P0),

F(x,y,f(x,y),g(x,y))?0, G(x,y,f(x,y),g(x,y))?0,

②f(x,y),g(x,y)在U(Q0)内连续；

③f(x,y),g(x,y)在U(Q0)内有一阶连续偏导数，且 ?u?x?u??1?(F,G)?v1?(F,G),??,J?(x,v)?xJ?(u,x)1?(F,G)?v1?(F,G)??,??,?yJ?(y,v)?yJ?(u,y)

6. （反函数组定理）若函数组??u?u(x,y)?v?v(x,y),满足如下条件：

1）u(x,y),v(x,y)均是有连续的偏导数； 2）

?(u,v)?(x,y)?0.

则此函数组可确定唯一的具有连续偏导数的反函数组

x?x(u,v),y?y(u,v),且

?(u,v)?(x,y).?1.

?(x,y)?(u,v)

6

(四) 多元微分学的应用

1. 泰勒定理

1) 若f(x,y)在点P0(x0,y0)的邻域U(P0)内存在n?1阶连续的偏导数，则，有?(x0?h,y?k)?U(0P) 0f(x0?h,y0?k)?f(x0,y0)?(h???12!1n!(h(h1(n?1)!??x??x?k??y)f(x0,y0)??x??x?k?k???y??y)f(x0,y0)?...2

)f(x0,y0)??y)n?1n(h?xm?kf(x0??h,y0??k)m其中(h?k??y)f(x0,y0)??cp?0pmhm?pkp?f?xm?pm?yp|P0

2) 当x0?0,y0?0时，相应二元函数f(x,y)的麦克劳林公式为

f(x,y)?f(0,0)?(x??1n!(x1(n?1)!??x?y??x??yn??x?y??y)f(0,0)?...)f(0,0)??y)n?1

(x?yf(?x,?y).2．极值

1）定义 设函数z?f(x,y)在点P0?(x0,y0)的某邻域U(P0)内有定义，如果

?(x,y)?U(P0) 满足f(x,y)?f(x0,y0)(f(x,y)?f(x0,y0))，则称f(x0,y0)为f(x,y)的极大值（极小值），此时点P0称为f(x,y)的极大值点（极小值点）。极大值，极小值统称极值。

2）函数f(x,y)在点P0的偏导数存在，则f在点P0取得极值的必要条件为：fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?0，满足上述条件的点P0称为稳定点或驻点。

''3）极值的充分条件: 设函数f(x,y)在点P0?(x0,y0)的某邻域U(P0)内具有二阶连续的偏导数，且P0是f的稳定点。

记A?fxx(P0),B?fxy(P0),C?fyy(P0)则

7

''''''

① 当B2?AC?0时，函数f在P0取得极值，若A?0，则取得极大值，若A?0，则取得极小值；

② 当B2?AC?0时，函数f在点P0不取极值； ③ 当B2?AC?0时，不能判断f在点P0是否极值；

3．条件极值

1）求条件极值的方法有两种：一种将条件极值化为无条件极值的问题来求解；并一种是用拉格朗日乘数法求解。

2）拉格朗日乘数法求二元函数z?f(x,y)在约束条件?(x,y)?0下的极值步骤如下： ①作相应的拉格朗日函数

L(x,y,?)?f(x,y)???(x,y).

②令Lx?Ly?L??0.即

'?fx'(x,y)???x(x,y)?0,?''?fy(x,y)???y(x,y)?0, ???(x,y)?0.'''③求解上述方程组，得稳定点P0?(x0,y0)。

④判定该点是否为条件极值：如果是实际问题，可由问题本身的性质来判定，如不是实际问题，可用二阶微分判别。

3) 对于条件极值的一般情形，求函数z?f(x1,x2,...,xn)在约束条件 ??1(x1,x2,...,xn)?0,? ?.......??(x,x,...,x)?0.n?m12（其中f,?1,?2,...,?m均具有一阶连续偏函数，且雅可比（Jacobi）矩阵

???1??x1??...???m????x1.........??1??xm??...?的秩为m)下的极值步骤如下：

???m??xm?? ①作拉格朗日函数

L?f??1?1??2?2?...??m?m.

②分别令Lx?Lx?...?Lx?L??L??...?L??0.得到相应的方程组。

12n12m''''''8

③解上述方程组得到可能的条件极值点，再对这些点进行判定。

(五)多元函数几何应用

1. 平面曲线的切线与法线

平面曲线由方程F(x,y)?0给出，它在点P0?(x0,y0)的切线与法线的方程为： 切线方程：Fx(x0,y0)(x?x0)?Fy(x0,y0)(y?y0)?0， 法线方程：Fy(x0,y0)(x?x0)?Fx(x0,y0)(y?y0)?0。 2. 空间曲线的切线与法平面

1) 空间曲线L由参数方程L:x?x(t),y?y(t),z?z(t),t?[?,?],表出，

'''假定x(t0),y(t0),z(t0)不全为零，则曲线L在P0?(x0,y0,z0)处的切线方程式为：

''''x?x0x(t0)'?y?y0y(t0)'?z?z0z(t0)';

曲线L在P0?(x0,y0,z0)处的法平面方程式为：

x(t0)(x?x0)?y(t0)(y?y0)?z(t0)(z?z0)?0. …… 此处隐藏：621字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……