《数学分析》第四章 多元函数微分学(3)

'''2) 空间曲线L由方程式组L:??F(x,y,z)?0?G(x,y,z)?0给出.

当

?(F,G)?(F,G)?(F,G)中至少一个不为零时， ,,?(x,y)?(z,x)?(y,z)曲线L在点P0的切线方程为：

(x?x0)?(F,G)?(y,z)|P0(y?y0)?(F,G)?(z,x)|P0(z?z0)?(F,G)?(x,y)|P0??，

曲线L在点P0的法平面方程为： ?(F,G)?(y,z)|P0(x?x0)??(F,G)?(z,x)|P0(y?y0)??(F,G)?(x,y)|P0(z?z0)?0。

3. 空间曲线的切平面与法线

设曲面由方程F(x,y,z)?0给出，P0?(x0,y0,z0)是曲面上一点，并设函数F(x,y,z)在偏导数在该点连续，且不同时为零，则

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曲面上点P0处的切平面方程为：

Fx(P0)(x?x0)?Fy(P0)(y?y0)?Fz(P0)(z?z0)?0，

'''曲面上点P0处的法线方程为： x?x0F(P0)'x?y?y0F(P0)'y?z?z0F(P0)'z。

四、基本例题解题点击

【例1】设f(x,y) 是区域D:x?1,y?1上有界的k次齐次函数（k?1）。问极限lim[f(x,y)?(x?1)e]是否存在？若存在，试求其值。

x??y??y【提示】f(x,y) 是k次齐次函数是指f(rx,ry)?rkf(x,y)

【解】 令x?rcos?,y?rsin?。同时设f(x,y)?M,(x,y)?D。 则f(x,y)?f(rcos?,rsin?)?rkr?0x??y??kf(cos?,sin?)?rM.

k因limrM?0，故limf(x,y)?limf(rcos?,rsin?)?0.

r?0从而lim[f(x,y)?(x?1)ey]=lim(x?1)ey??1.

x??y??x??y??【例2】证明f(x,y)?xy 在点(0,0)两个偏导数存在，但在点(0,0)不可微。

f(x,0)?f(0,0)x【证明】显然，fx(0,0)?lim'x?0?0，fy(0,0)?lim'f(0,y)?f(0,0)yy?0 ?0。

因此f(x,y)?微，则有

xy在点(0,0)两个偏导数存在且等于零.若f(x,y)?xy在点(0,0)可

f(x,y)?f(0,0)?fx(0,0)x?fy(0,0)y??(x?y).

''22即f(x,y)?xy??(x?y)((x,y)?0)，但如果沿直线y?x趋于零，有

22limxyx?y22x?0y?0?12

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