数列经典综合题66例(5)

(x?1)4?(x?1)4（Ⅰ）若f(x)?x且x?R，则称x为f(x)的实不动点，求f(x)的实不动点； （II）在数列{an}中，a1?2，an?1?f(an)（n?N?），求数列{an}的通项公式。

x4?6x2?1解：（Ⅰ）由f(x)?及f(x)?x得

4x3?4xx4?6x2?114222?x?3x?2x?1?0?x?1或（舍去）， x??4x3?4x3所以x?1或?1，即f(x)的实不动点为x?1或x??1；

(an?1)4?(an?1)4an?1?1(an?1)4?an?1?an?1?1an?1???ln?4ln（II）由条件得an?1?，从而有， ??(an?1)4?(an?1)4an?1?1(an?1)4?an?1?an?1?1an?1由此及ln4?a?1?a1?1?ln3?0知：数列?lnn?是首项为ln3，公比为4的等比数列，故有 a1?1?an?1?n?1an?1n?1an?14n?134?1（n?N?）。 ln?4ln3??3?an?4n?1an?1an?13?1例23 二次函数f(x)符合f(x)?0,且f(x)?2x2恒成立，f(1)?1 （1）求f(0)并求f(x)的解析式；

（2）若an?f(1)f(2)f(n)1????,bn?,求数列?bn?前n项和Sn.并求limSn.

n??12nan （3）若cn?1?f(cn),且c1?2,记Tn?c1?c2?...?cn,求符合Tn?2008最小自然数n． .解：（1）f(0)?0　又：f(0)?2?02?0　　　?f(0)?0

f(x)?ax?bx　　对称轴x?0即b?0　?f(x)?ax 又f(1)?1　　?a?1　　?f(x)?x

2221222n2n(n?1)2111（2）an?? bn? ) Sn?2(? ) ;????1?2???n??2(?112n2n(n?1)n?n1n?1limSn?n??1?l?im?2(n??n?1?2?1??? )2.2n?1（3）C1?2.　　Cn?1?(Cn)

12482 ?Tn?2?2?2?2?2?Cn?2n?1

n?1?2(1?2?4???2)?2(2n?1)?2008?n?4,?nmin?4

例24 已知函数f?x??点P的横坐标为

1． 214?2x?x?R?，点P1?x1,y1?，P2?x2,y2?是函数f?x?图像上的两个点，且线段P1P2的中

⑴求证：点P的纵坐标是定值； ?n?⑵若数列?an?的通项公式为an?f???m??m?N,n?1,2,?,m?，求数列?an?的前m项的和Sm；

解：⑴由题可知：x1?x2?2?1?1，所以， 212114x?4x?4y1?y2?f?x1??f?x2??x?x?x4?24?24?24x?212?1??24x?4x?44x?4x?41?x?x??4?24x?4x?424x?4x?42121212?

?12??12?

点P的纵坐标yP?y1?y21?是定值，问题得证． 24?n??m?n?1⑵由⑴可知：对任意自然数m,n，f???f???恒成立．

?m??m?2

由于Sm?f??1??2??m?2??m?1??m???f?????f???f???f??，故可考虑利用倒写求和的方法．即由于：?m??m??m??m??m??1??2??m?2??m?1??m?Sm?f???f?????f???f???f???m??m??m??m??m?

?m??m?1??m?2??2??1??f???f???f?????f???f??mmm???????m??m???1???m?1??m?1????2??m?2???1???m?2Sm??f???f?????f???f???????f???f????2f???m????m??m???m???m? ??m???m?所以，

11??m?1??2f(1)??3m?1?26所以，Sm?1?3m?1? 12例25 设f1(x)=

f(0)?12*

，定义fn+1 (x)= f1［fn(x)］，an =n（n∈N）.

fn(0)?21?x(1) 求数列｛an｝的通项公式； (2) 若T2n4n2?n*

?a1?2a2?3a3???2na2n，Qn=2（n∈N），试比较9T2n与

4n?4n?1Qn的大小，并说明理由.

解：（1）∵f1(0)=2，a1=

22?11=，fn+1(0)= f1［fn(0)］=,

1?fn(0)2?242?1fn?1(0)?11?fn(0)1?fn(0)1fn(0)?11∴an+1==== -= -an.

2fn?1(0)?24?2fn(0)2fn(0)?22?21?fn(0)1111n1

,公比为-的等比数列，∴an=(?)?. 4242（2）∵T2 n = a1+2a 2+3a 3+?+(2n-1)a 2 n?1+2na 2 n， 111111∴?T2 n= (-a1)+(-)2a 2+(-)3a 3+?+(-)(2n-1)a2 n－1+(?)2na2 n

222222= a 2+2a 3+?+(2n－1)a2 n－na2 n.两式相减，得3T2 n= a1+a2+a 3+?+a2 n+na2 n.

21?12n?1?(?)4?2?3112n11112nn12n1??∴T2n =+n×(-)?=-(-)+(-)?.

1242662421?2∴数列｛an｝是首项为T2n =

3n?11112nn12n113n?13n?1-(-)+(-)?=(1-2n). ∴9T2n=1-2n.又Qn=1-， 2(2n?1)992629222 n

2

2 n

2

当n=1时，2= 4,(2n+1)=9,∴9T2 n＜Q n； 当n=2时，2=16,(2n+1)=25,∴9T2 n＜Qn；

013n2当n≥3时，22n?[(1?1)n]2?(Cn?Cn?Cn???Cn)?(2n?1)2， ∴9T2 n＞Q n.

0(x?0)?(x)?例26 已知函数f?n[x?(n?1)]?f(n?1)? a?f(n)(n?N*)n （I）求数列{an}的通项公式；

(n?1?x?n，n?N*)，数列{an}满足

（II）设x轴、直线x与函数y?f(x，求()(aa?0)?a)的图象所围成的封闭图形的面积为S； S(nS)?(n?1)(n?N*) （III）在集合M，且1中，是否存在正整数N，使得不等式?{N|NkkZ?2，?000??k1500}对一切n恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的?Na?1005??S(n)S(n?1)n最小的正整数N；若不存在，请说明理由。

im(b??b?b) （IV）请构造一个与{an}有关的数列{bn}，使得l存在，并求出这个极限值。 12?nn??解：（I）? ? n?N*f(n)?n[n?()nf?1]?()n?1?n?f()n?1 ? f(n)?f(n??1)n