数列经典综合题66例(4)

又因为Pn(an，bn)在函数y＝log3(2x)的图像上，所以bn＝log3(2n－1).

bnc1c2cn132n－1

（Ⅱ）因为cn＝3，n∈N*，所以cn＝2n－1设Dn＝＋2＋?＋n，即Dn＝＋2＋?＋n， ①

2222221132n－32n－1111112n－1

所以Dn＝2＋3＋?＋n＋n+1， ② 由①－②得Dn＝＋＋2＋?＋n?1－n+1，

222222222221n1

1－()?

21112n－12n－112n－1

则所以Dn＝1＋1＋＋2＋?n?2－n＝1＋－n＝3－n?2－n＜3，

22221222

1－2例18 已知点列B1(1,y1)、B2(2,y2)、?、Bn(n,yn)（n∈N）顺次为一次函数y?141图像上的点，点列A1(x1,0)、x?12A2(x2,0)、?、An(xn,0)（n∈N）顺次为x轴正半轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1），对于任意n∈N，点An、Bn、

An+1构成一个顶角的顶点为Bn的等腰三角形。

⑴求数列{yn}的通项公式，并证明{yn}是等差数列； ⑵证明xn+2-xn为常数，并求出数列{xn}的通项公式；

⑶在上述等腰三角形AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在，请说明理由。

11解：（1）yn?4(n?N),∵yn+1-yn=4,∴{yn}为等差数列 n?121?xn?xn?1?n??2 （2）因为?AnBnAn?1与?An?1Bn?1An?2为等腰三角形.所以?，两式相减得 xn?2?xn?2。

x?x?n?1n?2?n?1??2n?a?1 (当n为奇数)

∴x1,x3,x5,?,x2n-1及x2,x4,x6 ，?，x2n都是公差为2的等差数列，∴x???n?n-a (当n为偶数)11?12?12 （3）要使AnBnAn+1为直角三形，则 |AnAn+1|=2yBn=2(n)?xn+1-xn=2(n) 当n为奇数时， 44111?n?12xn+1=n+1-a，xn=n+a-1,∴xn+1-xn=2(1-a). ?2(1-a)=2(n) ?a=12(n为奇数，0＜a＜1) (*) 44 取n=1，得a=3，取n=3，得a=6，若n≥5，则(*)无解； 当偶数时，xn+1=n+a，xn=n-a，∴xn+1-xn=2a.

11?12?12 ∴2a=2(n)?a=n(n为偶数，0＜a＜1) (*?)，取n=2，得a=12,若n≥4，则(*?)无解. 44217 综上可知，存在直角三形，此时a的值为3、6、12.

三、数列与向量交汇的综合题 例19

217?an?已知Sn为数列的前n项和，a=?Sn,1?, b=?1,2an?2?an?为等差数列； n??2????n?1?,a?b

??（1）求证：?(2) 若bn??n?2011an,问是否存在n0, 对于任意k（k?N?），不等式bk?bn0成立.

n?1?解（1）?a?b ??Sn?2an?2n?1?0?Sn?1?2an?1?2

n?2?0

?an?1?2an?2n?1?（2）

an?1an?an???1??n?为等差数列 2n?12n?2?an??2?(n?1)??(n?1) 2n?bn??2011?n?2n令bn?1?bn?2010?n?2n?1??2011?n?2n

n?2009bn的最大值为b2010?b2009?n0?2009或2010例20 在直角坐标平面中，已知点P,2),P2(2,22),P3(3,23),?Pn(n,2n)，其中n是正整数，对平面上任一点1(1A0，记A1为A0关于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点，??，An为An－1关于点Pn的对称点.

（1）求向量A0A2的坐标；

（2）对任意偶数n，用n表示向量A0An的坐标. （1）设An(xn,yn),?An与An?1关于点Pn(n,2n)对称

?xn?xn?1?2n?x1?2?x0?x2?4?x1?2?x0 故A0A2?(x2?x0,y2?y0)?(2,4) ???,??n?1y?4?yy?8?y?4?yy?y?20?210?1n?1?n （2）???xn?xn?1?2n?xn?1?2(n?1)?xn?2?xn?1?xn?1?xn?1?2

?xn?1?xn?2(n?1)n?1?An?1An?1?(xn?1?xn?1,yn?1?yn?1)?(2,2n?1) 同理可得：yn?1?yn?1?2n??2n?22???n2(1?4)2?4? 24n故A0An?A0A2?A2A4???An?2An ?(2,2)?(2,2)???(2,2)??2?,?n,????1?4??3???2??，a2?3，前n项和为Sn，且Sn?1、Sn、Sn?1（n ≥2）分别是直线l上的点例21 已知数列{an}的首项a1?1????2a?1????nBC，设b1?1，bn?1?log2(an?1)?bn． A、B、C的横坐标，AB?ann4⑴ 判断数列{an?1}是否为等比数列，并证明你的结论；⑵ 设cn?，证明：?Ck?1．

anan?1k?1bn?1?1n?1解：⑴由题意得

Sn?1?Sn2an?1??an?1?2an?1 ?an?1?1?2(an?1)（n≥2），又∵a1?1，a2?3

Sn?Sn?1an?数列{an?1}是以a1?1?2为首项，以2为公比的等比数列。[则an?1?2n?an?2n?1（n?N*）]

⑵由an?2n?1及bn?1?log2(an?1)?bn得bn?1?bn?n

42nn(n?1)11?bn?1?， 则cn? ?n??n?1nn?1anan?1(2?1)(2?1)2?12?121??11??11?1??1?1C?????????????2??3??n? ?k234n?1?2?12?1??2?12?1??2?12?1??2?12?1?k?1nbn?1?1n?1?1?12n?1?1?1

四、数列与函数交汇的综合题

(x?1)4?(x?1)4例22 已知函数f(x)?（x?0）。 …… 此处隐藏：689字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……