数列经典综合题66例(12)

?1a?1?1?a,??1f(x)?g(a)??,a?1

2??a?1?a,0?a?1?故对n?N， bn?1?g(a)恒成立. 又 b2n?*12an0?g(a)??g(a),注意到,解上式得

2(1?an)21?g(a)?1?2g(a)1?g(a)?1?2g(a)g(a)??an?,

g(a)g(a)1?g(a)?1?2g(a)取??1?g(a)?1?2g(a)1,即有 ?an??.. ?g(a)2 例53 设 f(x)?x?a. 记f1(x)?f(x)，fn(x)?f(fn?1(x))，n?2,3,?，

1??M?a?R对所有正整数 n， fn(0)?2. 证明：M???2, ?.

4????【证明】（１）如果a??2，则f1(0)?|a|?2，a?M。

11nn?12，由题意 f(0)?a，f(0)?(f(0))?a,n?2,3,?. 则 411n① 当 0?a?时，f(0)?（?n?1）.

4211 事实上，当n?1时，f(0)?a?, 设n?k?1时成立（k?2为某整数），则对n?k，

2（２）如果?2?a??1?11fk(0)?fk?1(0)?a?????.