数列经典综合题66例

数列经典综合题66例

本专题中所有试题均来源于近几年高考试题、高考模拟试题、大学自主招生试题及竞赛试题（含2009—2010学年最新试题），按内容分为以下几部分：⑴等差数列与等比数列综合题；⑵点列综合题；⑶数列与向量交汇的综合题；⑷数列与函数交汇的综合题；⑸数列与不等式交汇的综合题；⑹数列与概率统计的综合题；⑺分段数列综合题；⑻信息迁移题.（所有试题均有详细答案）题型比较全面，可作为学生复习数列时的参考用题，也可供数学教师备课时参考. 等差数列与等比数列综合题

例1 等比数列{an}的前n 项和为sn，已知S1,S3,S2成等差数列 （1）求{an}的公比q；（2）求a1－a3＝3，求sn

解：（Ⅰ）依题意有 a1?(a1?a1q)?2(a1?a1q?a1q2) 由于 a1?0，故2q2?q?0 又q?0，从而q?－1 21n（41?（?））1281n2（?）?3 （Ⅱ）由已知可得a1?a 故 从而 a?4S??（1?（?））11n1232 1?（?）2例2 在正项数列?an?中,令Sn??i?1n1.

ai?ai?1（Ⅰ）若?an?是首项为25,公差为2的等差数列,求S100； （Ⅱ）若Sn?np（p为正常数）对正整数n恒成立,求证?an?为等差数列；

a1?an?11?ai?ai?1ai?1?ai2,所以S100=（Ⅰ）解：由题意得,a201?a12?5

nnpp11（Ⅱ）证:令n?1,,则p=1 所以Sn??=（1）, ?a1?an?1a1?a2a1?a2ai?ai?1i?1Sn?1??i?1n?1(n?1)p(n?1)n11=（2）,（2）—（1）,得—=,

a1?an?2a1?an?2a1?an?1an?1?an?2ai?ai?1化简得(n?1)an?1?nan?2?a1(n?1)（3） (n?2)an?2?(n?1)an?3?a1(n?1)（4）, （4）—（3）得an?1?an?3?2an?2(n?1) 在（3）中令n?1,得a1?a3?2a2,从而?an?为等差数列 例3 已知{an}是公比为q的等比数列，且am,am?2,am?1成等差数列.

（1）求q的值；

（2）设数列{an}的前n项和为Sn，试判断Sm,Sm?2,Sm?1是否成等差数列？说明理由. 解：（1）依题意，得

2am+2 = am+1 + am ∴2a1qm+1 = a1qm + a1qm – 1

2

在等比数列{an}中，a1≠0，q≠0， ∴2q = q +1，解得q = 1或?1. 2 （2）若q = 1， Sm + Sm+1 = ma1 + (m+1) a1=(2m+1) a1，Sm + 2 = (m+2) a1 ∵a1≠0，∴2Sm+2≠S m + Sm+1

11?(?)m?212112若q =?，Sm + 1 =???(?)m

123621?(?)2111?(?)m1?(?)m?142114112?2Sm + Sm+1 = ??[(?)m?(?)m?1]=?(?)m ∴2 Sm+2 = S m + Sm+1

1133223321?(?)1?(?)221故当q = 1时，Sm , Sm+2 , Sm+1不成等差数列； 当q =?时，Sm , Sm+2 , Sm+1成等差数列.

2例4 已知数列｛an｝的首项a1?a（a是常数），an?2an?1?n2?4n?2（n?N,n?2）．（Ⅰ）?an?是

否可能是等差数列.若可能，求出?an?的通项公式；若不可能，说明理由；

（Ⅱ）设b1?b，bn?an?n2（n?N,n?2），Sn为数列?bn?的前n项和，且

?Sn?是等比数列，求实数a、b满足的条件．

解：（Ⅰ）∵a1?a,依an?2an?1?n2?4n?2(n?2,3,?)

∴a2?2a?4?8?2?2a?2 a3?2a2?9?12?2?4a?5

a4?2a3?2?8a?8 a2?a1?2a?2?a?a?2,a3?a2?2a?3,a4?a3?4a?3

若{an}是等差数列，则a2?a1?a3?a2,得a?1 但由a3?a2?a4?a3，得a=0,矛盾. ∴{an}不可能是等差数列

(Ⅱ)∵bn?an?n2 ∴bn?1?an?1?(n?1)2?2an?(n?1)2?4(n?1)?2?(n?1)2?2an?2n2?2bn(n≥2)

∴b2?a2?4?2a?2

当a≠－1时, bn?0{bn}从第2项起是以2为公比的等比数列∴S?b?(2a?2)(2n1nn≥2时,Sn?(a?1)2?b?2a?2?2?n?1n?1?1)2?1?b?(2a?2)(2n?1?1)

Sn?1(a?1)2?b?2a?2b?2a?2 n?1(a?1)2?b?2a?2∴{Sn}是等比数列, ∴Sn(n≥2)是常数 ∵a≠-1时, ∴b-2a-2=0 当a=-1时，

Sn?1b2?0,由bn?2bn?1（n≥3）,得bn?0（n≥2） ∴Sn?b1?b2????bn?b

a??1∵{Sn}是等比数列 ∴b≠0综上, {Sn}是等比数列,实数a、b所满足的条件为???a??1 或??b?2a?2?b?0例5 设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2-an，n=1，2，3，?. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ)若数列{bn}满足b1=1，且bn+1=bn+an，求数列{bn}的通项公式； (Ⅲ)设cn=n(3-bn)，求数列{cn}的前n项和Tn.

解：(Ⅰ)∵n=1时，a1+S1=a1+a1=2 ∴a1=1 ∵Sn=2-an即an+Sn=2 ∴an+1+Sn+1=2 两式相减：an+1-an+Sn+1-Sn=0 即an+1-an+an+1=0故有2an+1=an∵an≠0 ∴

an?11?(n∈N*) an211

的等比数列.an=()n?1(n∈N*) 22

1n-1112

(Ⅱ)∵bn+1=bn+an(n=1，2，3，?)∴bn+1-bn=() 得b2-b1=1,b3-b2=,b4-b3=() ??

2221n-2

bn-bn-1=()(n=2，3，?) 将这n-1个等式相加，得

211?()n?1112131n?2112bn-b1=1+?()?()???()??2?2()n?1 又∵b1=1，∴bn=3-2()n-1(n=1，2，3，?)

12222221?21n-1101121n-21n-1

(Ⅲ)∵cn=n(3-bn)=2n() ∴Tn=2[()+2()+3()+?+(n-1)()+n()] ①

2222221n?11n111213

而 Tn=2[()+2()+3()+?+(n-1)()?n()] ②

22222211011121n?11n①-②得：Tn?2[()?()?()???()]?2n()

22222211?()n2?4n(1)n?8?8?4n(1)n=8-(8+4n)1(n=1，2，3，?) Tn=4nn122221?2所以，数列{an}为首项a1=1，公比为

例6 已知数列{an}中，a0?2,a1?3,a2?6，且对n≥3时

有an?(n?4)an?1?4nan?2?(4n?8)an?3．

（Ⅰ）设数列{bn}满足bn?an?nan?1,n?N?，证明数列{bn?1?2bn}为等比数列，并求数列{bn}的通项公式； （Ⅱ）记n?(n?1)???2?1?n!，求数列{nan}的前n项和Sn

（Ⅰ） 证明：由条件，得an?nan?1?4[an?1?(n?1)an?2]?4[an?2?(n?2)an?3]，

则an?1?(n?1)an?4[an?nan?1]?4[an?1?(n?1)an?2]．

即bn?1?4bn?4bn?1.又b1?1,b2?0，所以bn?1?2bn?2(bn?2bn?1)，b2?2b1??2?0． 所以{bn?1?2bn}是首项为?2，公比为2的等比数列．

b?1bn1b2?2b1??2，所以bn?1?2bn?2n?1(b2?2b1)??2n．两边同除以2n?1，可得n． ???2n?12n2bnb1111?b?于是?n为以首项，－为公差的等差数列．所以??(n?1),得bn?2n(1?n)． ?nn222222?2?（Ⅱ）an?2n?nan?1?n2n?1?n(an?1?2n?1)，令cn?an?2n，则cn?ncn?1．

而c1?1， ?cn?n(n?1)???2?1?c1?n(n?1)???2?1 ∴an?n(n?1)???2?1?2n． nan?n?n?(n?1)???2?1?n2n?(n?1)!?n!?n?2n，

∴Sn?(2!?1!)?(3!?2!)???(n?1)!?n!?(1?2?2?22???n?2n)．

令Tn＝1?2?2?22???n?2n， ① 则2Tn＝1?22?2?23???(n?1)?2n?n?2n?1． ② ①－②，得?Tn＝2?22???2n?n?2n?1，Tn＝(n?1)2n?1?2．∴Sn?(n?1)!?(n?1)2n?1?1． 例7 设数列?an?,?bn?满足a1?1,b1?0且

?an?1?2an?3bn,??bn?1?an?2bn,n?1,2,3,??

（Ⅰ）求?的值，使得数列?an??bn?为等比数列； （Ⅱ）求数列?an?和?bn?的通项公式；

?，求极限lim（Ⅲ）令数列?an?和?bn?的前n项和分别为Sn和SnSn的值．

n??S?n（Ⅰ）令cn?an??bn，其中?为常数，若?cn?为等比数列，则存在q?0使得

cn?1?an?1??bn?1?q(an??bn)．又an?1??bn?1?2an?3bn??(an?2bn)?(2??)an?(3?2?)bn． 所以q(an??bn)?(2??)an?(3?2?)bn．由此得(2???q)an?(3?2???q)bn?0,n?1,2,3,? 由a1?1,b1?0及已知递推式可求得a2?2,b2?1，把它们代入上式后得方程组

?2???q?0, 消去q解得???3． 下面验证当??3时，数列an?3bn为等比数列． ?3?2???q?0???an?1?3bn?1?(2?3)an?(3?23)bn?(2?3)(an?3bn) (n?1,2,3,?)， a1?3b1?1?0，从而an?3bn是公比为2? …… 此处隐藏：5603字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……