数列经典综合题66例(15)

阶可重复数列”，且a4?1，求数列{an}的最后一项am的值.

aj,aj?1,aj?2,aj?3,aj?4与am?3,am?2,am?1,am,1按次序对应相等，如果a1,a2,a3,a4与am?3,am?2,am?1,am不能按次序对应相等，那么必有2?i,j?m?4，i?j，使得ai,ai?1,ai?2,ai?3、aj,aj?1,aj?2,aj?3与am?3,am?2,am?1,am按次序对应相等.此时考虑ai?1,aj?1和am?4，其中必有两个相同，这就导致数列?an?中有两个连续的五项恰按次序对应相等，从而数列?an?是“5阶可重复数列”，这和题设中数列?an?不是“5阶可重复数列”矛盾！所以a1,a2,a3,a4与am?3,am?2,am?1,am按次序对应相等，从而am?a4?1.

例65 数列{an}和数列{bn}(n?N?)由下列条件确定：

①a1?0,b1?0；

ak与bk满足如下条件：②当k?2时，当

时，ak?ak?1?bk?1a?bk?1a?b?0时，?0ak?ak?1,bk?k?1k?1；当k?1222ak?1?bk?1,bk?bk?1。 2解答下列问题：

（Ⅰ）证明数列{ak?bk}是等比数列；（Ⅱ）求数列{n(bn?an)}的前n项和为Sn； （Ⅲ）n(n?2)是满足b1?b2???bn的最大整数时，用a1,b1表示n的满足的条件。

ak?1?bk?1a?b1?0时，bk?ak?k?1k?1?ak?1?(bk?1?ak?1) 222a?bk?1a?b1?0时，bk?ak?bk?1?k?1k?1?(bk?1?ak?1) 当k?12221所以不论哪种情况，都有bk?ak?(bk?1?ak?1)，又显然b1?a1?0，故数列{ak?bk}是等比数列

21n?1n（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn?an?(b1?a1)()，故n(bn?an)?(b1?a1)?n?1

2223n?1n1123n?1nSn?(b1?a1)(1??3???n?2?n?1)所以，Sn?(b1?a1)(?2?3???n?1?n)

22222222221111n12n所以，Sn?(b1?a1)(1??2???n?1?n)， Sn?(b1?a1)[4(1?n)?n]

2222222（Ⅲ）当b1?b2???bn(n?2)时，bn?bn?1(2?k?n)

解：（Ⅰ）当

ak?1?bk?1a?ba?b?0不成立，故k?1k?1?0从而对于2?k?n，有ak?ak?1,bk?k?1k?1，于是 2221an?an?1???a1，故bn?a1?(b1?a1)?n?1

2a?bn111a?ba?b?{a1?[a1?(b1?a1)?n?1]}?a1?(b1?a1)?n，若nn?0，则bn?1?nn 若n222222由②知

111bn?1?bn?{a1?(b1?a1)?n}?{a1?(b1?a1)?n?1}??(b1?a1)?n?0

222所以bn?1?bn，这与n是满足b1?b2???bn(n?2)的最大整数矛盾。

a?bna?bnb?ab?a1?0的最小整数，因此n是满足n而n?0?a1?(b1?a1)?n?0?11?2n?log211?n 222?a1a1b?a1?n最小整数。 因而，n是满足log21a1例66 对于数列{un},若存在常数M＞0,对任意的n?N，恒有

*un?1?un?un?un?1???u2?u1?M, 则称数列{un}为B?数列.

1（Ⅰ）首项为1，公比为?的等比数列是否为B-数列？请说明理由;

2（Ⅱ）设Sn是数列{xn}的前n项和.给出下列两组判断： A组：①数列{xn}是B-数列, ②数列{xn}不是B-数列; B组：③数列{Sn}是B-数列, ④数列{Sn}不是B-数列.

请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题. 判断所给命题的真假，并证明你的结论；

(Ⅲ)若数列{an}是B-数列，证明：数列{an}也是B-数列。 解: （Ⅰ）设满足题设的等比数列为{an},则an?(?)212n?1.于是

1131an?an?1?(?)n?1?(?)n?2??()n?2,n?2.

2222|an?1?an|?|an?an?1|???|a2?a1|

=

1n?3?1121n-1??3?1?（）??3. =??1??（）???（）??22?222???1的等比数列是B-数列 . 2（Ⅱ）命题1：若数列{xn}是B-数列，则数列{Sn}是B-数列.此命题为假命题.

*事实上设xn=1，n?N，易知数列{xn}是B-数列，但Sn=n， |Sn?1?Sn|?|Sn?Sn?1|???|S2?S1|?n. 由n的任意性知，数列{Sn}不是B-数列。

命题2：若数列{Sn}是B-数列，则数列{xn}不是B-数列。此命题为真命题。

*事实上，因为数列{Sn}是B-数列，所以存在正数M，对任意的n?N，有

|Sn?1?Sn|?|Sn?Sn?1|???|S2?S1|?M, 即|xn?1|?|xn|???|x2|?M.

于是xn?1?xn?xn?xn?1???x2?x1?xn?1?2xn?2xn?1???2x2?x1?2M?x1, 所以数列{xn}是B-数列。

? (Ⅲ)若数列?an?是B-数列，则存在正数M，对任意的n?N,有an?1?an?an?an?1???a2?a1?M. 因为an?an?an?1?an?1?an?2???a2?a1?a1?an?an?1?an?1?an?2???a2?a1?a1?M?a1.

22记K?M?a1，则有an?1?an?(an?1?an)(an?1?an)?(an?1?an)an?1?an?2Kan?1?an.

2222222因此an?1?an?an?an?1?...?a2?a1?2KM.故数列?an?是B-数列.

所以首项为1，公比为?