数列经典综合题66例(10)

111111111123?1[?? =>?]??](??)??212 36(3)n?1?(n?1)(3)n?2?(n?2)2(3)n?2?(n?2)(3)n?n36例44 已知数列{an},a1?a2?2,an?1?an?2an?1(n?2) （Ⅰ）求数列{an}的通项公式an （Ⅱ）当n?2时,求证:

2111??...??3 a1a2an*（Ⅲ）若函数f(x)满足：f(1)?a1,f(n?1)?f(n)?f(n).(n?N)求证：解： (1) ?an?1?an?2an?1,两边加an得: an?1?an?2(an?an?1)(n?2),

?k?1n11?.

f(k)?12?{an?1?an} 是以2为公比, a1?a2?4为首项的等比数列. ?an?1?an?4?2n?1?2?2n??① 由an?1?an?2an?1两边减2an得: an?1?2an??(an?2an?1)(n?2) ?{an?1?2an} 是以?1 为公比, a2?2a1??2为首项的等比数列. ?an?1?2an??2?(?1)n?1?2?(?1)n

2①-②得: 3an?2[2n?(?1)n] 所以,所求通项为an?[2n?(?1)n]????5分

31131132n?1?2n???[?]??an?1an22n?1?12n?122n?1?2n?2n?2n?1?132?232?2311??n?1n???(?)(n?2)n?1n?1nn?1n22?2?2?122?2222n?1nn?1n(2) 当n为偶数时,

11?n111311131???...??(1??2?...?n)??2?3?3?n?3 a1a2an222221?122当n为奇数时,?an?12n[2?(?1)n]?0,?an?1?0,?0,又n?1为偶数 3an?1?由(1)知,

1111111??...????...???3 a1a2ana1a2anan?1（3）证明：?f(n?1)?f(n)?f2(n)?0?f(n?1)?f(n),?f(n?1)?f(n)?f(n?1)?????f(1)?2?0 又

11111111?2????? ?

f(n?1)f(n)?f(n)f(n)[f(n)?1]f(n)f(n)?1f(n)?1f(n)f(n?1)n1111111?[?]?[?]?????[?]f(1)f(2)f(2)f(3)f(n)f(n?1)k?1f(k)?11111????.f(1)f(n?1)f(1)2?x?0 ?例45 设不等式组?y?0所表示的平面区域为Dn，记Dn内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的

?y点）的个数为f(n)(nN*). ??nx?3n?∈?? （1）求f(1)、f(2)的值及f(n)的表达式；

n

（2）设bn=2f(n)，Sn为{bn}的前n项和，求Sn；

（3）记Tn?f(n)f(n?1)，若对于一切正整数n，总有Tn≤m成立，求实数m的取值范围.

2nn

解：（1）f(1)=3， f(2)=6当x=1时，y=2n，可取格点2n个；当x=2时,y=n，可取格点n个 ∴f(n)=3n （2）由题意知:bn=3n·2

2

3

Sn=3·21+6·22+9·23+?+3(n－1)·2n－1+3n·2n

n

n+1

∴2Sn=3·2+6·2+?+3(n－1)·2+3n·2

1

2

3

n

n+1

2?2n?1?3n2n?1 =3(2n+1－2)－3nn+1 ∴－Sn=3·2+3·2+3·2+?3·2－3n·2 =3（2+2+?+2）－3n·2=3·

1?22

n

n+1

∴－Sn=(3－3n)2n+1－6 Sn=6+(3n－3)2n+1

（3）Tn?f(n)f(n?1)3n(3n?3)?

2n2n(3n?3)(3n?6)n?1Tn?1n?22???3n(3n?3)Tn2n2nn?2?1 当n?1时, 2nn?2当n?2时,?12nn?2当n?3时,?12n ∴T1T4>?>Tn 故Tn的最大值是T2=T3=例46 (2009陕西卷理) 已知数列?xn}满足， x1＝2727 ∴m≥。 2211xn＋1＝,n?N*. 2’1?xn???猜想数列{xn}的单调性，并证明你的结论；

（Ⅱ)证明：|xn?1-xn|≤()证明（1）由x1?1265n?1。

112513 及xn+1?得x2??x4?，x4?21?xn3821由x2?x4?x6猜想：数列?x2n?是递减数列 下面用数学归纳法证明： （1）当n=1时，已证命题成立 （2）假设当n=k时命题成立，即x2k?x2k?2 易知x2k?0，那么x2k?2?x2k?4?x2k?3?x2k?111??

1?x2k?11?x2k?3(1?x2k?1)(1?x2k?3)=

x2k?x2k?2?0 即x2(k?1)?x2(k?1)?2

(1?x2k)(1?x2k?1)(1?x2k?2)(1?x2k?3)也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立