甘肃省兰州市2016届中考数学一诊试题（含解析）(6)

（3）如图3，过点P向x轴作垂线分别交x轴，抛物线于E、F两点． ①求PF的长度关于t的函数表达式，并求出PF的长度的最大值；

②连接CF，将△PCF沿CF折叠得到△P′CF，当t为何值时，四边形PFP′C是菱形？

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）将A、B点的坐标代入函数解析式中，即可得到关于a、b的二元一次方程，解方程即可得出结论；

（2）令x=0可得出C点的坐标，设出直线BC解析式y=kx+4，代入B点坐标可求出k值，结合点到直线的距离与三角形的面积公式，即可得出结论；

（3）①由直线BC的解析式为y=﹣x+4可得知OE=CP，设出P、F点的坐标，由F点的纵坐标﹣P点的纵坐标即可得出PF的长度关于t的函数表达式，结合二次函数的性质即可求出最值问题；②由翻转特性可知PC=P′C，PF=P′F，若四边形PFP′C是菱形，则有PC=PF，由此得出关于t的二元一次方程，解方程即可得出结论．

2

【解答】解：（1）∵抛物线y=ax+bx+4的图象过A（﹣1，0），B（4，0）两点，

∴，解得：

2

．

∴抛物线的表达式为y=﹣x+3x+4． （2）令x=0，则y=4，

即点C的坐标为（0，4）， 设直线BC的解析式为y=kx+4， ∵点B的坐标为（4，0）， ∴有0=4k+4，解得k=﹣1，

∴直线BC的解析式为y=﹣x+4，可以变形为x+y﹣4=0． 当t=1时，CP=

，

点A（﹣1，0）到直线BC的距离h=S△ACP=CP?h=××=．

（3）①∵直线BC的解析式为y=﹣x+4， ∴CP=

=，

t，OE=t，设P（t，﹣t+4），F（t，﹣t+3t+4），（0≤t≤4）

2

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PF=﹣t+3t+4﹣（﹣t+4）=﹣t+4t，（0≤t≤4）．

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当t=﹣=2时，PF取最大值，最大值为4．

②∵△PCF沿CF折叠得到△P′CF， ∴PC=P′C，PF=P′F，

当四边形PFP′C是菱形时，只需PC=PF． ∴

t=﹣t+4t，

．

2

解得：t1=0（舍去），t2=4﹣故当t=4﹣

时，四边形PFP′C是菱形．

【点评】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、点到直线的距离以及三角形的面积公式，解题的关键：（1）待定系数法求函数解析式；（2）找出直线BC的解析式由点到直线的距离求出三角形的高；（3）①结合直线BC与抛物线的解析式设出P、F点的坐标；②由菱形的判定定理找出PC=PF．本题属于中档题，（1）难度不大；（2）借用了点到直线的距离减少运算量；（3）由二次函数的性质找出最值．

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