甘肃省兰州市2016届中考数学一诊试题（含解析）(5)

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用以及坡角的定义，正确构造直角三角形是解题关键．

25．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，连接DE交AC于点F． （1）求证：∠DAN=90°；

（2）求证：四边形ADCE是一个矩形；

（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？请给出证明； 当四边形ADCE是正方形，若AB=3

，求正方形ADCE的面积．

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）利用角平分线的定义和邻补角的定义即可得出∠DAN的度数； （2）利用有三个内角是直角的四边形是矩形的判断方法即可；

（3）利用邻边相等的矩形是正方形，求出正方形的边长，从而求出正方形的面积．

【解答】

（1）证明：如图1，∵AB=AC，AD⊥BC，垂足为D， ∴∠CAD=BAC．

∵AN是△ABC外角的平分线，

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∴∠CAE=CAM，

∵∠BAC与∠CAM是邻补角， ∴∠BAC+∠CAM=180°，

∴∠DAN=∠CAD+∠CAE=（∠BAC+∠CAM）=90°， （2）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AN，∠DAN=90°， ∴∠ADC=∠CEA=∠DAN=90°， ∴四边形ADCE为矩形．

（3）解：如图2，当△ABC是等腰直角三角形时，四边形ADCE是一个正方形． ∵∠BAC=90°，且AB=AC，AD⊥BC， ∴∠CAD=BAC=45°， ∠ADC=90°，

∴∠ACD=∠CAD=45°， ∴AD=AC．

∵四边形ADCE为矩形， ∴四边形ADCE为正方形． 由勾股定理，得∵AD=CD， ∴

AD=3

，

=AC，

∴AD=3，

2

∴正方形ADCE的面积=AD=3×3=9．

【点评】本题是四边形的综合题，主要考查正方形的判断方法，涉及到知识有，等腰三角形的三线合一的性质，如由AB=AC，AD⊥BC得到∠CAD=

BAC，三角形的外角的平分线，勾股定理；本题的

关键是整体计算∠DAN=∠CAD+∠CAE=（∠BAC+∠CAM）=90°．

26．如图1，一次函数y=kx+b的图象交x轴、y轴分别于B、A两点，反比例函数y=

的

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图象多线段AB的中点C（﹣2，）．

（1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）如图2，在反比例函数上存在异于C点的一动点M，过点M作MN⊥x轴于N，在y轴上存在点P，使得S△ACP=2S△MNO，请你求出点P的坐标．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】（1）可先根据待定系数法求得反比例函数解析式，然后根据平行线分线段成比例定理求得OA的值，得出A的坐标，把A，C两点分别代入y=kx+b根据待定系数法即可求得．

（2）设P（0，y），则AP=|y﹣3|．根据反比例函数系数k的几何意义和已知条件求得S△ACP=3，然后根据三角形面积公式得到关于y的方程，解方程即可求得y的值． 【解答】解：（1）如图1，∵反比例函数y=∴k=（﹣2）×=﹣3，

∴反比例函数解析式为y=﹣； 过点C作CD⊥OB，则CD=． ∵CD∥AO， ∴

=

，

的图象过点C（﹣2，），

即=，解得：OA=3，

∴A（0，3）．

∵一次函数y=kx+b的图象过点C（﹣2，），A（0，3），

∴，解得：．

∴一次函数的表达式为y=x+3．

（2）如图2，设P（0，y），AP=|y﹣3|． ∵S△MNO=|k|=×3=，

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∴S△ACP=2S△MNO=2×=3，

∴×AP×|xc|=3，即：×|y﹣3|×2=3； 解得：y=6或y=0．

∴P（0，6）或P（0，0）．

【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，平行线分线段成比例定理，三角形的面积等，求得A的坐标是解题的关键．

27．如图，已知AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，点D在OC的延长线上，连接DA，交BC的延长线于点E，使得∠DAC=∠B． （1）求证：DA是⊙O切线； （2）求证：△CED∽△ACD； （3）若OA=1，sinD=，求AE的长．

【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质．

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【分析】（1）由圆周角定理和已知条件求出AD⊥AB即可证明DA是⊙O切线； （2）由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA；

2

（3）由题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=2，故此可得到DC=DE?AD，故此可求得DE的长，于是可求得AE的长．

【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠CAB+∠B=90°， ∵∠DAC=∠B，

∴∠CAB+∠DAC=90°． ∴AD⊥AB．

∵OA是⊙O半径， ∴DA为⊙O的切线； （2）解：∵OB=OC， ∴∠OCB=∠B． ∵∠DCE=∠OCB， ∴∠DCE=∠B． ∵∠DAC=∠B， ∴∠DAC=∠DCE． ∵∠D=∠D，

∴△CED∽△ACD；

（3）解：在Rt△AOD中，OA=1，sinD=， ∴OD==3， ∴CD=OD﹣OC=2． ∵AD=

=2

，

又∵△CED∽△ACD， ∴

，

∴DE==， ﹣

=

．

∴AE=AD﹣DE=2

【点评】本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定，证得△DEC∽△DCA是解题的关键．

2

28．如图1，抛物线y=ax+bx+4的图象过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC，动点P从点C出发，以每秒

个单位长度的速度沿CB向点B运动，运动时间为t秒，当点P

与点B重合时停止运动． （1）求抛物线的表达式；

（2）如图2，当t=1时，求S△ACP的面积；

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