甘肃省兰州市2016届中考数学一诊试题（含解析）(4)

【解答】解：连接AC、BD、BE，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC与BD互相垂直且平分， ∴AO=

，BO=1，

∵tan∠BAO=，tan∠ABO=， ∴∠BAO=30°，∠ABO=60°， ∴AB=2，∠BAE=60°，

∵以B为圆心的弧与AD相切， ∴∠AEB=90°，

在Rt△ABE中，AB=2，∠BAE=60°， ∴BE=ABsin60°=

，

∴S菱形﹣S扇形=×2×2故答案为：2

﹣π．

﹣=2﹣π．

【点评】本题考查了扇形的面积计算、菱形的性质及切线的性质，解答本题的关键是根据菱形的性质求出各角度及扇形的半径．

20．如图，在直角坐标系中，直线AB交x轴、y轴于点A（3，0）与B（0，﹣4），现有一半径为1的动圆的圆心位于原点处，动圆以每秒1个单位长度的速度向右作平移运动．设运动时间为t（秒），则动圆与直线AB相交时t的取值范围是

＜t＜

．

【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质． 【专题】动点型．

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【分析】在Rt△OAB中，OA=3，OB=4，由勾股定理得AB=5，过P点作AB的垂线，垂足为Q，PQ=1；当⊙O在直线AB的左边与直线AB相切时，AP=3﹣t，根据△APQ∽△ABO中的成比例线段求解；当⊙P在直线AB的右边与直线AB相切时，AP=t﹣3，根据△APQ∽△ABO中的成比例线段求解；得出动圆与直线AB相切时t的取值，即可得出动圆与直线AB相交时t的取值范围． 【解答】解：如图所示： ∵A（3，0）、B（0，﹣4）， ∴OA=3，OB=4， ∴AB=

=5，

过P点作AB的垂线，垂足为Q，则PQ=1；

①当⊙P在直线AB的左边与直线AB相切时，AP=3﹣t， 则△APQ∽△ABO，

∴，即，

解得：t=；

②当⊙P在直线AB的右边与直线AB相切时，AP=t﹣3； 则△APQ∽△ABO，

∴，即，

解得：t=；

， ．

综上所述：动圆与直线AB相切时t的取值是或∴动圆与直线AB相交时t的取值范围是＜t＜故答案为：＜t＜

．

【点评】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．

三、解答题：本大题共8小题，共70分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

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21．（1）计算：|1﹣|﹣（）﹣4cos30°+（π﹣3.14）．

2

（2）解方程：x﹣1=2（x+1）

【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解一元二次方程-因式分解法；特殊角的三角函数值． 【分析】（1）利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值和零指数以及负整数指数幂的性质化简各数，进而得出答案；

（2）利用因式分解法解方程得出答案． 【解答】解：（1）原式=2﹣1﹣2﹣4×=﹣2．

2

（2）方程整理得：x﹣2x﹣3=0， 这里a=1，b=﹣2，c=﹣3， ∵△=4+12=16＞0，

+1

﹣10

∴x==1±2， 解得：x1=﹣1，x2=3．

【点评】此题主要考查了实数运算以及一元二次方程的解法，正确化简各数是解题关键．

22．如图，AC是矩形ABCD的对角线，将矩形纸片折叠，使点C与点A重合，请在图中画出折痕，然后再在图中画出矩形ABCD的外接圆．（用尺规作图，写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）．

【考点】作图—复杂作图． 【专题】作图题．

【分析】作线段AC的垂直平分线交AD于E，交BC与F，交AC于O，则EF为折痕；然后以点O为圆心，OA为半径作圆⊙O．

【解答】解：如图，EF和⊙O为所作．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．

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23．春节期间，小刚随爸爸从陇南来兰州游玩，由于仅有一天的时间，小刚不能游玩所有风景区，于是爸爸让小刚上午上午从A：兰州极地海洋世界（收费），B：白塔山公园（免费），C：水车博览园（免费）中任意选择一处游玩；下午从D：五泉山公园（免费），E：安宁滑雪场（收费），F：甘肃省博物馆（免费），G：西部欢乐园（收费）中任意选一处游玩． （1）请用树状图或列表法说明小刚所有可能选择的方式（用字母表示）； （2）求小刚这一天游玩的景点恰好是免费的概率． 【考点】列表法与树状图法．

【分析】（1）首先根据题意画出树状图，由树状图求得小刚所有可能选择的方式；

（2）首先由（1）中的树状图，即可求得小刚这一天游玩的景点恰好是免费的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．

【解答】解：（1）列表格如下： D E F G 下午 上午 A （A，D） （A，E） （A，F） （A，G） B （B，D） （B，E） （B，F） （B，G） C （C，D） （C，E） （C，F） （C，G） （2）∵一共有12种等可能的结果，而恰好小刚这一天的游玩的景点恰好是免费的有（B，D），（C，D），（B，F），（C，F）4种．

∴P（小刚这一天游玩的景点恰好是免费）==．

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．

24．如图，皋兰山某处有一座信号塔AB，山坡BC的坡度为1：

，现为了测量塔高AB，测量人员

选择山坡C处为一测量点，测得∠DCA=45°，然后他顺山坡向上行走100米到达E处，再测得∠FEA=60°．

（1）求出山坡BC的坡角∠BCD的大小；

（2）求塔顶A到CD的铅直高度AD．（结果保留整数：

）

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 【分析】（1）根据tan∠BCD=

，进而得出答案；

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（2）设AD=x，则CD=AD=x，可得AF=x﹣50，EF=x﹣50，进而利用在Rt△AEF中， =tan60°，

求出答案．

【解答】解：（1）依题意得：tan∠BCD==

，

∴∠BCD=30°；

（2）方法1：

作EG⊥CD，垂足为G．

在Rt△CEG中，CE=100，∠ECG=30°， ∴EG=CE?sin30°=50， CG=CE?cos30°=50

，

设AD=x，则CD=AD=x． ∴AF=x﹣50，EF=x﹣50

，

在Rt△AEF中， =tan60°，

∴=．

解得：x=50

+50≈136.5（米）．

答：塔顶A到CD的铅直高度AD约为137米． 方法2：

∵∠ACD=45°， ∴∠ACE=15°． ∵∠AEF=60°， ∴∠EAF=30°． ∵∠DAC=45°，

∴∠EAC=∠DAC﹣∠EAF=15°， ∴∠ACE=∠EAC． ∴AE=CE=100．

在Rt△AEF中，∠AEF=60°， ∴AF=AE?sin60°=50

（m），

在Rt△CEG中，CE=100m，∠ECG=30°， ∴EG=CE?sin30°=50m． ∴AD=AF+FD=AF+EG=50

+50≈136.5（米）．

答：塔顶A到CD的铅直高度AD约为137米．

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