论文全部材料 - 图文(9)

得到的Matlab程序如下：

a?[?1,?2,?3]'; b?[2,3,4,5]'; c?[?1,?2,?3]'; f?[6,1,?2,1]';

[x,L,U]=thomas(a,b,c,f) x= 5 4 3 2 L=

1 0 0 0

-1/2 1 0 0 0 -4/5 1 0 0 0 -5/4 1 U=

2 -1 0 0 0 5/2 -2 0 0 0 12/5 -3 0 0 0 5/4

5.4 Jacobi迭代法和Seidel迭代法的比较

迭代法具有循环的计算式，方法简单，程序实现方便，能充分利用系数的稀疏性，适宜解大型稀疏矩阵方程组.迭代法不存在误差累积问题，使用迭代法的关键问题是其收敛性与收敛速度，收敛性与迭代初值的选取无关.

Jacobi迭代和Seidel迭代可能同时发散，也可能同时收敛，但一个快，一个慢，能一个收敛，而另一个发散.它的收敛范围并不重合，但两者都收敛时，在很多情况下Seidel迭代确实比Jacobi迭代收敛快得多.对于敛散性问题，若x*为原方程组的精确解，则x*满足方程组，即满足等价的方程组x*?Bx*?f，而迭代公式为x?k??Bx?k?1??f ，误差向量序列，则迭代法是否收敛和收敛的快慢取决于

?????是否收敛于零和收敛于零的快慢.

k2?B?k??2?k?????B?0???前式-后式得??k??B??k?1?(1,2???)，则????Bkk?1??，而x0是任取，即

??0?任取，??k??0取决于B的特性.

下面通过具体实例来比较jacobi迭代法和Seidel迭代法的优缺点及适用条件. 例5.5 求解下列方程组

27

?10x1?x2?2x3?7.2???x1?10x2?2x3?8.3 ??x?x?5x?4.23?12解法一 雅可比迭代法

将方程组按雅可比方法写成

0.1x2?0.2x3?0.72?x1?　　　?+0.2x3?0.83 ?x2?0.1x1　　　?x?0.2x?0.2x　　　+0.8412?3取初始值x?0??x1,x2,x3??0??0??0??T??0,0,0?按迭代公式

T?k??k??x1?k?1??　　　0.1x2?0.2x3?0.72???k?1?k?k??0.1x1??　　　?0.2x3?0.83 ?x2??k?1??k??k?x?0.2x?0.2x　　 +0.84312??进行迭代，其计算结果如表5.1所示.

表5.1 k kx1?? 0 0 0 0 1 0.72 0.83 0.84 2 0.971 1.070 1.150 3 1.057 4 1.0853 5 1.0951 1.1951 1.2941 6 1.0983 1.1983 1.2980 7 … … … ?k? x2?k? x31.1571 1.1853 1.2482 1.2828

解法二 塞德尔迭代法 取初始值x?0??x1,x2,x3??0??0??0??T??0,0,0?，按迭代公式

T?k??k??x1?k?1??　　　　0.1x2?0.2x3?0.72???k?1??k?1??k??0.2x3?0.83 ?x2?0.1x1　　　　??k?1??k?1??k?1?x?0.2x?0.2x　　　?0.8412??3进行迭代，其计算结果如下表5.2所示. 表5.2

k kx1?? 0 0 0 0 1 0.72 0.902 2 1.04308 1.16719 3 4 5 1.09989 1.19993 1.29996 6 1.09999 1.19999 1.3 7 1.1 1.2 1.3 1.09313 1.09913 1.19572 1.19947 1.29777 1.29972 x2?k? ?k? x31.1644 1.28205 28

得到的Matlab程序如下:

解法一 用雅克比迭代法得到的Matlab程序如下： A?[10；　　?　　1-2;-1　10　-2;-1　-1　5　]

b?[7.2；8.3；4.2];

Jacobi(a,b,[0; 0; 0]) y=

1.9883 0.1983 1.2980 n= 11

解法二 用高斯—塞德尔迭代法得到的Matlab程序如下：

A?[10　　?1　　-2;-1　10　-2;-1　-1　5　]； b?[7.2；8.3；4.2];

seidel(a,b,[0; 0; 0]) y=

1.1 1.2 1.3 n= 7

从此例看出，高斯—塞德尔迭代法比雅可比迭代法收敛快(达到同样的精度所需迭代次数少)，但这个结论在一定条件下才是对的，甚至有这样的方程组，雅可比方法收敛，而高斯—塞德尔迭代法却是发散的. 5.5 总结

通过上述具体实例及Matlab的实现，我们知道线性方程组的各个数值解法之间有着一定的联系，同时也存在不同之处.矩阵直接三角分解法是高斯消元法的变形方法.高斯消元法有多种变形，有的是高斯消元法的改进，有的是用于某种特殊系数矩阵的化简.高斯消元法解线性方程组先消元，然后再带回.当用矩阵描述时，是对系数矩阵分解为一个上三角矩阵和一个下三角矩阵的乘积，即LU分解.因此，高斯消元法与矩阵三角分解法中的LU分解是一致的.当然，针对线性方程组不同的形式与所具备的条件所选择的方法也是有区别的.

29

6 结束语

线性方程组的各个数值解法之间有着一定的联系，同时也存在不同之处. 矩阵直接三角分解法是高斯消元法的变形方法.高斯消元法有多种变形，有的是高斯消元法的改进，有的是用于某种特殊系数矩阵的化简.高斯消元法解线性方程组先消元，然后再带回.当用矩阵描述时，是对系数矩阵分解为一个上三角矩阵和一个下三角矩阵的乘积，即LU分解.因此，高斯消元法与矩阵三角分解法中的LU分解是一致的.当然，针对线性方程组不同的形式与所具备的条件所选择的方法也是有区别的.

高斯消元法的基本思想是通过行变换,逐步消元，把方程组化为系数矩阵为三角形矩阵的等价的方程组，然后用回代法解此三角形方程组得原方程组的解.对于高斯顺序消元法，标记元素的绝对值很小时，若用它作除数，则根据数值运算中\用绝对值很小的数作除数，舍入误差会增大，而且严重影响计算结果的精度\的原则，表明这种方法在一定程度上是具有局限性的.因此，在高斯顺序消元法的基础上，我们引进了高斯列主元消元法.它是在高斯消元法的消去过程中第k步?k?1,2,???,n?1?增加选主元操作，成为首先在第k列中，从ak,k,ak?1,k,???,an,k中选出绝对值最大的元素.经过行交换(把绝对值最大者所在的行与第k行交换)把绝对值最大的元素换到akk的单位中；然后做高斯顺序消去法的消去过程中第k步，初等变换产生第k列的n?k个零元素.

对于非奇异矩阵的方阵A，我们则利用直接三角分解法推导得到的公式(Doolittle分解公式或者Crout分解公式)进行求解.追赶法是针对带状矩阵(尤其是三对角矩阵)这一大稀疏矩阵的特殊结构，得出的一种保带性分解的公式推导，进行求解线性方程组.

通过比较线性方程组不同数值解法的优缺点，对我们进一步选择不同数值法解线性方程组，遇到实际问题取合适的数值解法具有重要意义.今后，为了更好更快地求解线性方程组和更有效地解决实际问题，我们应该根据线性方程组的特点，选择合适的方法进行求解.

参考文献

[1] 首都师范大学数学系组编.数值分析[M].北京:科学出版社,2005,12-21.

[2] 李庆扬.王能超.易大义.数值分析(第四版)[M].武汉:华中科技大学出版社,2006,29-36. [3] 朱金寿.线性代数[M].2版.北京:科学出版社,1998,107-119.

[4] 张德丰.MATLAB数值分析(第二版)[M].北京: 机械工业出版社, 2009,69-86. [5] 刘萍.计算方法[M].北京:人民邮电出版社,2002,71. [6] 王能超.计算方法[M].北京:高等教育出版社,2006,156-197.

30

?k?1??k?1??k?1?[7] 杨民生.线性方程组迭代收敛充分条件的改进[J]，安庆师范学报，1995,1(2):45-46.

[8] 范爱华、汪忠志.关于线性方程组理论的若干注记[J]，唐山师范学院学报，2004,26（26）:41-43. [9] 郑亚敏.迭代法解线性方程组的收敛性比较[J]，江西科学，2009,27(5):56. [10]吴新元.改进的割线法及其范围收敛性[J]，南京大学学报，1994,30(4):26-29.

[11]魏焕彩、郑修才.解线性代数方程组的一种行处理方法[J]，北京联合大学学报，1999,13(4):17. …… 此处隐藏：2209字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……