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2 线性方程组数值解法与Matlab简介 2.1 线性方程组数值解法的简介

n阶线性方程组的一般形式为

?a11x1?a12x2?????a1nxn?b1?ax?ax?????ax?b?2112222nn2 ? （2.1）

?????????????an1x1?an2x2??annxn?bn[3]

用矩阵表示为

AX?B,

其中，A称为系数矩阵，X称为解向量，B称为右端常向量，它们分别为

??? a1n ??a11　a12　　?x1??b1???????a　a　　???　 ax21222n2?，X???，B??b2?. A??????　　 ???　　　????????????????????xa　a　　???　 an2nn??n??bn??n1由线性代数的知识可知，如果矩阵A非奇异，即A的行列式值det(A)?0,则根据克莱姆法则，方程组有唯一解

xi?Di,i?1,2,???,n, DD?det(A)，其中，Di表示D中第i列换成B后所得的行列式值.对于这样的线性方程组，

我们通常是用克莱姆法则或求逆矩阵的方法来求解.从理论上讲，这两种方法求解是理想的，但在实际问题中，对于较大的n,用这两种方法来求解计算量大得惊人，比如用克莱姆法则求解一个n阶线性方程组要做N?n!(n?1)?n次乘除法，当n很大时，用这两种方法已无法实践了,因此用数值法求解已成为求解线性方程组的一种重要方法.

线性方程组的数值解法一般分为两类：直接法和迭代法.直接法是在不考虑舍入误差影响的前提下，经过有限次四则运算能得到精确解的方法，而实际上，由于受计算机字长的限制，舍入误差客观存在，只能得到近似解.迭代法是用某一极限过程去逼近精确解的方法，实际上是给定一初始精确解，然后按一定法则逐步求出满足一定精度要求的近似解.在电子计算机出现的今天，数值方法是解线性方程组的一种非常有效的方法. 2.2 Matlab简介

Matlab语言是1980年由美国的Cleve Moler博士研发的，它以矩阵运算为基础，把计算、可视化、程序设计融合到一个简单易用的交互式工作环境中，可实现工程计算、算法研究、符号运算、建模和仿真、原型开发、数据分析及可视化、科学和工程绘图、

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应用程序设计等功能.Matlab具有强大的数值分析、矩阵运算、信号处理、和图形显示功能，其强大的数据处理能力和丰富的工具箱使得它的编程极为简单，也成为目前世界上应用最为广泛的科学计算软件之一.

Matlab的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似，故用Matlab来解算问题要比用C、FORTRAN等语言完相同的事情简捷得多，并且mathwork也吸收了像Maple等软件的优点,使Matlab成为一个强大的数学软件.在新的版本中也加入了对C、FORTRAN、C++ 、JAVA的支持.可以直接调用,用户也可以将自己编写的实用程序导入到Matlab函数库中方便自己以后调用.

Matlab是一个包含大量计算算法的集合,其拥有600多个工程中要用到的数学运算函数，可以方便地实现用户所需的各种计算功能.函数中所使用的算法都是科研和工程计算中的最新研究成果，而前经过了各种优化和容错处理。在通常情况下，可以用它来代替底层编程语言，如C和C++ ,在计算要求相同的情况下，使用Matlab的编程工作量会大大减少.Matlab的这些函数集包括从最简单最基本的函数到诸如矩阵，特征向量、快速傅立叶变换的复杂函数.函数所能解决的问题其大致包括矩阵运算和线性方程组的求解、微分方程及偏微分方程的组的求解、符号运算、傅立叶变换和数据的统计分析、工程中的优化问题、稀疏矩阵运算、复数的各种运算、三角函数和其他初等数学运算、多维数组操作以及建模动态仿真等. 3 线性方程组的直接解法及Matlab实现 3.1 高斯消元法

高斯消元法（Gauss Elimination Method）是一种规则化的加减消元法.其基本思想是通过逐次消元计算把需要求解的线性方程组转化为上三角形方程组，也就是把线性方程组的系数矩阵转化为上三角矩阵，从而使一般线性方程组的求解转化为等价(同解)的上三角形方程组的求解. 3.1.1 高斯消元法

为方便起见，将方程组（2.1）改写成如下形式

?1??1???1??a11x1?a12x2???a1?1x?bnn1??1??1??1??1?x2???a2x?b?a21x1?a22nn2 （3.1） ??????????????1??1??1??1??an1x1?an2???annxn?bn3 [4][4]

[8]

简记为A(1)x?b(1)，其中A(1)?A,b(1)?b. 其增广矩阵为：

1??1??1??１??a11?　　a12　　?　a1?ｎ　ｂ１　　?1????1??1??１??a　　a22　　??　a2n　ｂ2　　?A?1?,b?1????21?, ???　　　?　　　?　　　????１??a?1?　　a?1?　　　a?1?　ｂ?n2nnｎ　??ｎ1（1）消元过程:

(1)(1)第一步消元：设a11?0,记li1?ai(1)1/a11(i?2,3,?n)，做运算

(2)(1)(1)(2)(1)(1)aij?aij?li1a1,b?b?lbjiii11(i,j?2,3,?,n).

(1)将增广阵第一列中a11以下元素消去使其为零，得到与原方程组等价的方程组A(2)x?b(2).

这一过程的实现需要对增广矩阵的第i(i?2,3,?,n)行（用ri表示）施行行的初等变换：

ri?(?li1)r.从矩阵运算的观点看，相当于用矩阵

?100??l?2110L1???l3101????????ln100左乘矩阵[A(1),b(1)]??A,b?，即

(1)?a11?0 [A(2),b(2)]?L1[A(1),b(1)]???????0?0??0???0?

?????1??(1))a12?a1(1n(2)(2)a22?a2n??(2)(2)an?ann2b1(1)?(2)?b2? . ??(2)?bn??一般地，设第k?1步后得等价方程组A(k)x?b(k)，其增广矩阵为

(1)?a11??0?(k)(k)??A,b?????????0?(1)a12(2)a22???a1(1)n(2)a2n??0(k)(k)akk?akn??(k)(k)ank?ann(1)?a11(2)?b2????. (k)bk????(k)?bn?第k(k)(k)(k)步消元：设akk?0,记lik?aik/akk(i?k?1,?n).做运算

ai(k?j1?)ak?i(j?(k)l),ka?ik?bkj(k1ik()(k)k列中akk,将增广矩阵的第以下的b()?,li?b?,jk,k)ni1ik4

元素消为零，得同解方程组A(k?1)x?b(k?1).第k步消元，相当于用矩阵

?1????1Lk???lk?1 k?0????lnk??左乘矩阵A(k),b(k).

?????

1????01??0??按上述作法，完成n?1次消元后，方程组（3.1）化成同解的上三角方程组

11?1??1??1??a11x1?a12x2?a13x3???a1?n?xn?b1????2??2??2??2?x2?a23x3???a2?　　　a22nxn?b2??3??3??3??　　　　　　a33x3???a3nxn?b3, ???　　　　　　　　?　　　　　　　　　　???n??n??　　　　　　　　　　　ax?bnnnn?记为A(n)x?b(n)，其增广矩阵为

(1)?a11?(n)(n)???A,b???????0(1)a12?a1(1)n(2)(2)a22?a2n??(n)annb1(1)?(2)?b2??L[A(n?1),b(n?1)]

n?1??(n)?bn??

?n?1??n?1???Ln?1Ln?2?L1?A,b?. ?因为Lk(k?1,2,?,n?1)均为非奇异阵，故它们的逆矩阵存在.容易求出

?1　　　　 　 0 ??　　?????　　　 1?　1L????, k1?0 lk?1k　　??　　　　　??　　　　???　　　　l　　0　　　 1??nk??令

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?1　　　　 　 ?　　　 0??l 1　　　　　??　　　021???l31　 　 1　　　?　　　　0??1?11L?L1L2?L?＝??, n?1?　　?　　? 　　　　　????　　?　　　　　　　1　　 　0???l　ｌ　l ? l　 1　　?n1?n2n3nn?1??于是有

?1??1???1?1?1?A(n),b?n??, A,b?LL???L?A,b???12n?1????即

?A,b??[LA(n),Lb(n)].

因为L为单位下三角阵，A(n)为上三角阵，A?LA(n)，故消元过程实际上是把系数矩阵A分解成单位下三角阵与上三角阵的乘积的过程.

（2）回代过程:

按向量的逆序逐步回代得方程组（2.1）的解

(n)(n)?xn?bn/ann …… 此处隐藏：2354字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……