论文全部材料 - 图文(7)

??k?1?1?k??k??k?x?　　　　?ax?ax?????ax?b111221331nn?a11?1??k?1??k?1??k??k?x??ax　　　　?ax?????ax?22112332nn?b2a22, ???????k?11?k?1??k?1?x??ax?　　???　?ax　　　　　?bnn11nn?1n?nann?

称为高斯—塞德尔（Gauss — Seidel）迭代法，或缩写为：

??????xi?k?1??bi??aijx?jk?1??j?1i?1j?j?1?ax??,

kijji?1,2,???n.4.3 迭代法的Matlab实现

（1）雅克比迭代法的Matlab程序如下： % Jacobi.m

function y=Jacobi(a,b, x0) D=diag(diag(a)); U=-triu(a,1); L=-triu(a,-1); B=D﹨(L+U); f=D﹨b y=B*x0+f;n=1;

while norm(y-x0)>=1.0e-6

x0=y

y=B*x0+f;n=n+1; end y n

（2）高斯—塞德尔的Matlab程序如下： % Seidel.m

function y=seidel (a,b,x0) D=diag(diag(a)); U=-triu(a,1);

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L=-triu(a,-1); G=(D-L)﹨U; f=(D-L)﹨b y=G*x0+f;n=1;

while norm(y-x0)>=1.0e-6

x0=y

y=B*x0+f;

n=n+1; end y n 4.4 应用举例

例4.1 用迭代法求解下列方程组，设x(0)=0,精度为10?6.

?10x1?x2?9???x1?10x2?2x3?7 ??2x?10x?623?解法一 用雅克比迭代法得到的Matlab程序如下：

?1　　0;-1　10　-2;0　-2　10　]； A?[10　　b?[9；７；６];

Jacobi(a,b,[0; 0; 0]) y=

0.9958 0.9579 0.7916 n= 11

解法二 用高斯—塞德尔迭代法得到的Matlab程序如下：

A?[10　　?1　　0;-1　10　-2;0　-2　10　]； b?[9；７；６];

seidel(a,b,[0; 0; 0]) y=

18

0.9958 0.9579 0.7916 n=

7

例4．2 对下列方程组，若分别用Jacobi迭代法和Gauss — Seidel迭代法求解.

2　　?2??x1??9??１　　??????1　１　　1???x2???7? ?2　　????2　　　1????x3??6?解法一 用Jacobi迭代法得到的Matlab程序如下：

; a??1　　2　　?2　；1　1 1；2　2　1?　b??9；　7;　　６?； Jacobi(a,b,[0;0;0]) y= -27 26 8 n= 4

解法二 用Gauss — Seidel迭代法得到的Matlab程序如下：

； a??1　　2　　?2　；1　1 1；2　2　1?　b??9；　7;　　６?； Seidel(a,b,[0;0;0]) y= NaN NaN NaN n= 1012

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5 线性方程组数值方法比较

5.1 高斯消元法和高斯列主元消元法的比较

高斯列主元消去法特点是每次在系数矩阵中依次按列在主对角线以下的元素中，选取绝对值最大的元素作为主元，将它调至主对角线上，然后用它去消去对角线以下的元素，最后变为同解的上三角形方程组求解.如果那一列的所有元素都为0，则说明该方程组解不唯一.

高斯列主元消去法较高斯消元法计算简单，工作量大为减少，且计算经验与理论分析均表明，它具有良好的数值稳定性，故列主元法是求解中小型稠密线性方程组的最好方法之一.

下面以高斯消元法和高斯列主元消元法解下面两题，通过具体的例子来比较高斯消元法和高斯列主元消元法的优缺点和适用条件.

例5.1 求解以下方程组.

?0.0003x1?3.0000x2?2.0001 ??1.0000x1?1.0000x2?1.0000解法一 高斯消元法

消元后的同解方程组为：

?0.0003x1?3.0000x2?2.0001 ???9999x2??6666回代求解得

?x2?0.6667 ?x?0?1与准确解

1?x???13 ?2?x?2?3?相差很大.

解法二 高斯列主元消元法

对调过程

?1.0000x1?1.0000x2?1.0000 ?0.0003x?3.0000x?2.0001?1220

消元后的同解方程组为

?1.0000x1?1.0000x2?1.0000 ??2.9997x2?1.9998回代求解得

?x1?0.3333 ?x?0.6667?2与准确解

1?x???13 ?2?x?2?3?相差很小.

得到的Matlab程序如下：

解法一 用高斯消去法得到的Matlab程序如下：

A??0.0003 3.0000 ;1.0000 1.0000;?； ; b??2.0001 1.0000 ?＇x2?gauss1(A,b)， x2?

0 0.6667

解法二 用高斯列主元消去法得到的Matlab程序如下：

A??0.0003 3.0000 ;1.0000 1.0000;?; ; b??2.0001 1.0000 ?＇x3?gauss2(A,b) x3?

0.3333 0.6667

从上题可以看出：当用绝对值很小的数做主元时，误差会很大，所以当a11很

小时，我们一般用列主元消去法更好.

例5.2 解方程组

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