论文全部材料 - 图文(8)

?0.001　　2.000　　3.000??x1??1.000??-1.000　３.712　　４.623??x???2.000? ???2??????2.000　１.072　　５.643????3.000???x3???四位有效数字精确解为

x*???0.4904,?0.05104,0.3675?

T解法一 高斯消元法

?0.001　　２.000　　３.000　　1.000?? ?1.000　　３.712　　４.623　　２.0000?A/b??????.072　　５.643　　３.000???2.000　　１??0.001　　２.000　　３.000　　１.000?? 0　　　　２004　　　３005　　１002 ??????0　　　 ４001　　　６006　　２003???0.001　　２.000　　３.000　　１.000?? 0　　　　２004　　　３005　　１002 ??????0　　　 0　　　 5.000　　２003??

x???0.400,?0.09989,0.4000?

T四位有效数字精确解为

x*???0.4904,?0.051040,0.3675?

T解法二 高斯列主元消去法

1.072　　　5.643　　3.000??2.000　　?? ?1.000　　3.712　　　4.623　　2.000?A/b???????2.00０　３.000　1.000　　?0.001　 　?　１0.0　　72 5　　.64 3??2.00?3? 　　0　　３.176 1.801 0.500 ?????0　　2.001　　３.003 1.002??　　?　１0.0　　72 5　　.64 3??2.00?3? 　　0　　３.176 1.801 0.500 ?????0　　 0 　　 1.868 0.867??　　?

x???0.4895,?0.05118,0.3678?

T四位有效数字精确解为

22

x*???0.4904,?0.05104,0.3675?

T得到的Matlab程序如下：

解法一 用高斯消去法得到的Matlab程序如下：

A??0.001 2.000 3.000 ;?1.000 3.712 4.623 ;?2.000 1.072 5.643 ?； ； b??1.000 2.000 3.000?＇x?gauss1(A,b)

x?

-0.400 -0.9989 0.4000

解法二 用高斯列主元消去法得到的Matlab程序如下：

A??0.001 2.000 3.000 ;?1.000 3.712 4.623 ;?2.000 1.072 5.643 ?; ; b??1.000 2.000 3.000?＇x?gauss2(A,b)

x?

-0.4895 -0.05118 0.3678

由此，我们会发现对于这种用绝对值很小的数作除数，舍入的误差会增大，同时会严重影响计算结果的精度.因此，我们要选择绝对值最大的元素做主元素，可以避免消元时消元系数绝对值大于1(即避免放大舍入误差).因此，我们用高斯列主消元法可以更精确的解用绝对值很小的数作除数的线性方程组，我们一般用高斯列主元消元法. 5.2 LU分解法和高斯消元法的比较

矩阵的三角分解法是高斯消去法紧凑格式的矩阵表示，它在解方程组的直接法中起着重要的作用，系数矩阵的LU分解与右端项无关.因而在计算多个系数矩阵为A而右端不同的线性方程组系是，用LU分解法更为简便.

LU分解法可以使用于任何矩阵，从使用范围来说LU分解法优点相当明显.从编程

繁简程度来说， LU分解法来得简单. LU分解法在适用范围、编写繁简以及运算速度方面都比较优越.

LU分解其实与高斯消去法在原理上是等价的，高斯消去法的运算量为：

N3/3?N2?N/3；而LU分解法的运算量为：N3/3?N2/2?N/6，两者运算量之差为：

N?N?1?/2，所以在N比较大的情况下，LU分解法的计算的速度就很可能比高斯消去法快很多.这种差异，主要是由于LU分解的时候，每次只是计算跟主元同行和同列、标

23

号在主元之后的元，而高斯消去法是标号在主元之后的每个元都要计算.

例5.3 利用Doolittle分解求解以下方程组

解

所以

回代求解??4x1?2x2?x3?5x4??2??8x1?7x2?2x3?10x4??7?4x1?8x2?3x3?6x4??7 ??12x1?6x2?11x3?20x4??3?　4　　2　　　1　　　5　　　??-2?A/b???　8　　7　　　2　　　　　　10-7??? ?　4　　8　　　3　 ６　　　-7??12　　6　　　　２110 　　-3????4　　2　　1　　5　　-2?u1j?a1j,y1?b???LU分解??2　　0　　0　　0　　0?1???1　　0　　0　　0　　0??j?1,2,3,4?

?3　　0　　0　　0　　0??li1?ai1u,i?2,3,411??4　　2　　1　　5　　-2?uij?a2j?l21u1j,???LU分解??2　　3　　0　　0　　-3?j?2,3,4??1　　2　　0　　0　　0??y2?b2?l21y1 ?3　　0　　0　　0　　0??l?ai2?li1u12i2u,i?3,421??4　　2　　1　　5　　-2?u3j?a3j?l31u1j?l32u2j,j???LU分解??2　　3　　0　　0　　-3??3,4??y3?b3?l31y1?l32y2?1　　2　　2　　1　　1??3　　0　　4　　0　　0??l?a43?l41u13?l42u2343u32?4　　?2　　1　　5　　-2????LU分解??2　　3　　0　　0　　-3???1　　2　　2　　1　　1?? ?3　　0　　4　　1　　-1????4　　2　　1　　?5?x1?????2 ?0　　3　　0　　??0??x?2??3??0　　0　　2　　?1?x???3??1?? ?0　　0　　0　　??1??x???4????124

x??2,?3,1,?1?.

T得到的Matlab程序如下：

A??4 2 1 5;8 7 2 10;4 8 3 6;12 6 11 20?; ; b??-2 -7 ?7 -3?＇?x1,ll,u1??nalu?A,b?;

Ans?

2 -3 1 -1

由此可知，矩阵分解中的直接三角分解法是以LU分解为基础进行矩阵分解，以上则是运用Doolittle分解求解线性方程组的解题过程. 5.3 追赶法

追赶法主要应用于三对角方程组中.

下面通过具体实例来分析一下追赶法解线性方程组的算法及适用条件. 例5.4 设4阶方程组Ax?B为

-1　　0　　0??x1??6??2　　?-1　　??x??1?3　　-2　　0???2???? ?0　　-2　　4　　-3??x3???2???????0　　0　　-3　　5???x4??1?这就是一个三对角方程组,既系数矩阵除了对角线的\三斜线\以外的元素均为0.用追赶法求解三对角方程组的一种做法是把系数矩阵A写成下列形式的LU分解(这里采用Doolittle分解): 解

-1　　0　　0?0　　0　　0??u1　　-1　　0　　0??1　　?2　　???0　u　　?-1　　??l　　1　　0　　0-2　　0　3　　-2　　0２? ????=?2??0　　?0　　1　　0　　-2　　4　　-3??0　l３　　0　u３　　-3???????0　　0　　-3　　50　　0　l　　10　　0　　0　u???4??4?即L为单位上三角阵，两斜行、主对角线元素为1，其下方的斜行元素待定；U为上三角阵，也是两斜行，主对角线元素待定，其上方斜行的元素与A对应的斜行元素相同(直接验算可知道). 利用矩阵乘法规则按顺序依次考虑A的

a11?a21?a22?a32?a33?a43，并对比两端可得

25

2?u2　　　　?　u1?2?1?l2u1　　　?　l2??1/u1??1/23??l2?u1　　?　u2?3?l2?5/2?2?l3u2　　　?　l3??2/u2??4/54??2l3?u3　　?　u3?4?2l3?12/5?3?l4u3　　　?　l4??3/u3??5/45??3l4?u4　　?　u4?5?3???5/4??5/4

即得分解

?2　　?-1　　0　　0??1　　　　0　 　0　　　0??２　　-1　　　 0　　?-1　　3　　-2　　0??-1/2　　　1　　 ??0　　5/2　 -2　　??0　　-2　　4　　-3??=?　0　　　0?0　　　　-4/5　 1　　 ???0　　0　　-3　　5???0??0　　0　　　12/5　?0　　　　0　　　-5/4　　　1????0　　0　　　　0　　　于是用前推过程求解下三角方程组

??1　　 0　　　　0　　 0??y1??6??-1/2　　1　　　　0　　 0　　????y?2?1???0　　　-4/5　　1　 0??????0　　　0　　　?5/4　　1????y3??y????2??4??1?得

??y1?6??y2?1?1/2y1?4?y3??2?4/5y2?6/5 ??y4?1?5/4y3?5/2再用回代过程求解上三角方程组

??2　　-1　　 …… 此处隐藏：1973字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……