概率论与数理统计专业学习资料(9)

则服从自由度为n-1的t分布的随机变量是 （A）t?X??S1/n?1X??S3/n.

.

（B）t?X??S2/n?1X??S4/n.

.

（C）t?

2

（D）t? [ ]

例6．8：设总体X服从正态分布N(0,2)，而X1，X2，，?，X15是来自总体X的简单随机样本，则随机变量

Y?2X12???X10222(X11???X15)服从 分布，参数为 。

例6．9：设总体X~N(0,?),X1,X2是总体的一个样本，求Y?2(X1?X2)2(X1?X2)2的分布。

例6．10：设X1，?，Xn， Xn+1，?，Xn+m是分布为N(0,σ2)的正态总体容量为n+m的样本，试求下列统计量的概率分布：

（1）Y1?m?Xii?1n?mn； （2）Y2?m?Xi2n?Xi2i?n?1i?1n?mn。

n

i?n?1?Xi2- 41 -

第七章 参数估计 第一节 基本概念

1、点估计的两种方法

（1）矩法

所谓矩法就是利用样本各阶原点矩与相应的总体矩，来建立估计量应满足的方程，从而求得未知参数估计量的方法。

设总体X的分布中包含有未知数?1,?2,?,?m，则其分布函数可以表成F(x;?1,?2,?,?m).显示它的k阶

k原点矩vk?E(X)(k?1,2,?,m)中也包含了未知参数?1,?2,?,?m，即vk?vk(?1,?2,?,?m)。又设

x1,x2,?,xn为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为

1nkvk??xi

ni?1?(k?1,2,?,m).

这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有

?1n????v1(?1,?2,?,?m)?n?xi,i?1?????1n2?v2(?1,?2,?,?m)??xi,?ni?1? ??????????????n????v(?,?,?,?)?1xim.?m12m?ni?1?由上面的m个方程中，解出的m个未知参数(?1,?2,?,?m)即为参数（?1,?2,?,?m）的矩估计量。 例7．1：设总体X~P(?)，求对?的矩估计量。

（2）最大似然法

所谓最大似然法就是当我们用样本的函数值估计总体参数时，应使得当参数取这些值时，所观测到的样本出

- 42 -

???现的概率为最大。

当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为f(x;?1,?2,?,?m)，其中?1,?2,?,?m为未知参数。又设x1,x2,?,xn为总体的一个样本，称

Ln(?1,?2,?,?m)??f(xi;?1,?2,?,?m)

i?1n为样本的似然函数，简记为Ln.

当总体X为离型随机变量时，设其分布律为P{X?x}?p(x;?1,?2,?,?m)，则称

L(x1,x2,?,xn;?1,?2,?,?m)??p(xi;?1,?2,?,?m)

i?1n为样本的似然函数。

若似然函数L(x1,x2,?,xn;?1,?2,?,?m)在?1,?,?,?m处取到最大值，则称?1,?,?,?m分别为

22???????1,?,?,?m的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。我们把使Ln达到最大的?1,?,?,?m分

22???别作为?1,?2,?,?m的估计量的方法称为最大似然估计法。

由于lnx是一个递增函数，所以Ln与lnLn同时达到最大值。我们称

?lnLn??i?0,i?1,2,?,m

?i??i???为似然方程。由多元微分学可知，由似然方程可以求出?i??i(x1,x2,?,xn)(i?1,2,?,m)为?i的最大似然估计量。

容易看出，使得Ln达到最大的?i也可以使这组样本值出现的可能性最大。

?2、估计量的评选标准

（1）无偏性

设???(x1,x,2,?,xn)为求知参数?的估计量。若E （?）=?，则称 ?为?的无偏估计量。

若总体X的均值E（X）和方差D（X）存在，则样本均值x和样本方差S2分别为E（X）和 D（X）的无偏估计，即

E（x）=E（X）， E（S2）=D（X）。

（2）有效性

设?1??1(x1,x,2,?,xn)和?2??2(x1,x,2,?,xn)是未知参数?的两个无偏估计量。若D(?1)?D?2，

????????????则称?1比?2有效。

例7．2：设x1,x,2,?,xn是总体的一个样本，试证下列式子并比较有效性。

- 43 -

131x1?x2?x3; 5102?115（2）?2?x1?x2?x3;

3412?131（3）?3?x1?x2?x3.

3412（1）?1??

（3）一致性（相合性）

设?n是?的一串估计量，如果对于任意的正数?，都有

n???limP(|?n??|??)?0,

?则称?n为?的一致估计量（或相合估计量）。

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?3、区间估计

（1）置信区间和置信度

设总体X含有一个待估的未知参数?。如果我们从样本x1,x,2,?,xn出发，找出两个统计量

?1??1(x1,x,2,?,xn)与?2??2(x1,x,2,?,xn)(?1??2)，使得区间[?1,?2]以1??(0???1)的概率包含

这个待估参数?，即

P{?1????2}?1??,

那么称区间[?1,?2]为?的置信区间，1??为该区间的置信度（或置信水平）。

（2）单正态总体的期望和方差的区间估计

设x1,x,2,?,xn为总体X~N(?,?)的一个样本，在置信度为1??下，我们来确定?和?的置信区间

22[?1,?2]。具体步骤如下：

（i）选择样本函数；

（ii）由置信度1??，查表找分位数； （iii）导出置信区间[?1,?2]。 下面分三种情况来讨论。 ① 已知方差，估计均值

（i）选择样本函数

设方差?样本函数。

2??20，其中

1n?为已知数。我们知道x??xi是?的一个点估计，并且知道包含未知参数?的

ni?120u?x???0/n- 44 -

~N(0,1).

(ii) 查表找分位数

对于给定的置信度1??，查正态分布分位数表，找出分位数?，使得

P(|u|??)?1??。

即

??x???P???????1??. ???2/n??（iii）导出置信区间

由不等式

???推得

(x??)n?2??

x??这就是说，随机区间

?0n???x???0n,

?0?0??x??,x????

nn??以1??的概率包含?。

② 未知方差，估计均值

（i）选择样本函数

设x1,x,2,?,xn为总体N(?,?)的一个样本，由于?是未知的，不能再选取样本函数u。这时可用样本方差

221n2 S?(x?x)?in?1i?12来代替?，而选取样本函数

2t?

x??S/n~t(n?1).

(ii)查表找分位数

对于给定的置信度1??，查t分位数表，找出分位数?，使得

P(|u|??)?1??。

即

??x????1??. P????????S/n??（iii）导出置信区间

由不等式

???(x??)n?2- 45 -

??