概率论与数理统计专业学习资料(10)

推得

x??这就是说，随机区间

Sn???x??Sn,

?SS?x??,x????

nn??以1??的概率包含?。

③ 方差的区间估计 （i）选择样本函数

1n设x1,x,2,?,xn为来自总体N(?,?)的一个样本，我们知道S?(xi?x)2 ?n?1i?122是?的一个点估计，并且知道包含未知参数?的样本函数

22??（ii）查表找分位数

(n?1)S2?2~?2(n?1).

对于给定的置信度1??，查?2分布分位数表，找出两个分位数?1与?2，使得由于?2分布不具有对称性，

因此通常采取使得概率对称的区间，即

P(?1????2)?1??.

于是有

??(n?1)S2?P?????2??1??. 2?1???

（iii）导出置信区间

?1?

由不等式

(n?1)S2?2??2

(n?1)S2?2以1??的概率包含?，而随机区间

2???2(n?1)S2?1

?n?1n?1?S,S? ??1???2以1??的概率包含?。

例7．3：设有一组来自正态总体N(?,?)的样本0.497, 0.506, 0.518, 0.524, 0.488, 0.510, 0.510, 0.512.

2- 46 -

(i) (ii) (iii)

已知?2=0.012，求μ的95%置信区间； 未知?2，求μ的95%置信区间； 求?的95%置信区间。

2第二节 练习题

1、矩估计和极大似然估计

例7．4：设总体X~?(1,?),x1,x2,?,xn为X的 样本，求： （1） λ矩估计量及最大似然估计量； （2） 设g(?)?1?，证明x是g(?)无偏估计量。

例7．5：设总体X的分布为

?(??1)x?p(x)???0,0?x?1,其他,

其中?>-1是未知参数，x1,x2,?,xn为来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，分别用矩估计最大似然法估计?。

2、估计量的优劣

例7．6：设x1,x2,?,xn是来自正态分布总体N(?,?)的一个样本，适当选取C，使得

2C?(xi?1?xi)2

i?1n?1为?的无偏估计量。

例7．7：设?是参数?的无偏估计量，且D（?）>0。证明?不是?的无偏估计量。

2

2???23、区间估计

例7．8：从一批钉子中随机抽取16枚，测得其长度（单位：cm）为

2.14, 2.10, 2.13, 2.15, 2.13, 2.12, 2.13, 2.10 2.15, 2.12, 2.14, 2.10, 2.13, 2.11, 2.14, 2.11

- 47 -

假设钉子的长度X服从正态分布N(?,?),在下列两种情况下分别求总体均值μ的置信度为90%的置信区间。 （1） 已知?=0.01. （2） ?未知.

2- 48 -