概率论与数理统计专业学习资料(3)

?Ax?F(x)??1?x??0其中A是一个常数，求

（1） 常数A

（2）P（1?X?2）

（3）连续型随机变量的密度函数

x?0x?0

定义 设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f(x)，对任意实数x，有

F(x)??f(x)dx??x，

则称X为连续型随机变量。f(x)称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。f(x)的图形是一条曲线，称为密度（分布）曲线。

由上式可知，连续型随机变量的分布函数F(x)是连续函数。 所以，

P(x1?X?x2)?P(x1?X?x2)?P(x1?X?x2)?P(x1?X?x2)?F(x2)?F(x1)

密度函数具有下面4个性质： 1° f(x)?0。 2°

?????f(x)dx?1????。

的几何意义；在横轴上面、密度曲线下面的全部面积等于1。

x2F(??)??f(x)dx?1如果一个函数f(x)满足1°、2°，则它一定是某个随机变量的密度函数。 3° P(x1?X?x2)＝F(x2)?F(x1)＝

x1?f(x)dx。

4° 若f(x)在x处连续，则有F?(x)?f(x)。

P(x?X?x?dx)?f(x)dx

它在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X?xk)?pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。

E??,??A?P(A),(古典概型，五大公式，独立性)

X(?)?X(?)?x?F(x)?P(X?x)

对于连续型随机变量X，虽然有P(X?x)?0，但事件(X?x)并非是不可能事件?。

x?hP(X?x)?P(x?X?x?h)??f(x)dx

x令h?0，则右端为零，而概率P(X?x)?0，故得P(X?x)?0。

不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。

例2．6：随机变量X的概率密度为f(x)，f(x)???Ax,0?x?1?0,其他- 11 -

，求A和F(x)。

例2．7：随机变量X的概率密度为

?13?x?xe2 x?0f(x)??2

? 0 x?0?求X的分布函数F(x)和P(?2?X?4)．

22、常见分布

①0－1分布

P(X=1)=p, P(X=0)=q

例如树叶落在地面的试验，结果只能出现正面或反面。

②二项分布

在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为

0,1,2,?,n。

P(X?k)?Pn(k)?Cnpkqn?k， 其中q?1?p,0?p?1,k?0,1,2,?,n，

则称随机变量X服从参数为n，p的二项分布。记为X~B(n,p)。

kX|n 2kn?12n?2kn?knP(X?k)q,npq,Cpq,?,Cpq,?,pnn容易验证，满足离散型分布率的条件。 当n?1时，P(X?k)?pqk1?k，k?0.1，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。

例2．8：某人进行射击，设每次射击的命中率为0.001，若独立地射击5000次，试求射中的次数不少于两次的概率。

③泊松分布

设随机变量X的分布律为

P(X?k)??kk!e??，??0，k?0,1,2?，

则称随机变量X服从参数为?的泊松分布，记为X~?(?)或者P(?)。

泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。

如飞机被击中的子弹数、来到公共汽车站的乘客数、机床发生故障的次数、自动控制系统中元件损坏的个数、某商店中来到的顾客人数等，均近似地服从泊松分布。

例2．9：某人进行射击，设每次射击的命中率为0.001，若独立地射击5000次，试求射中的次数不少于两次的概率，用泊松分布来近似计算。

④超几何分布

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kn?kk?0,1,2?,lCM?CN?MP(X?k)?, nl?min(M,n)CN随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布。

例2．10：袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中任取a+b个球，试求其中含a个白球，b个黑球的概率（a?α，b?β）。

abC?C?a?bC???（非重复排列）

例2．11：袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中连续地取a+b个球（不放回），试求其中含a个白球，b个黑球的概率（a?α，b?β）。

abC?C?Paa??bbPa?b???（非重复排列）

例2．12：袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中连续地取a+b个球（放回），试求其中含a个白球，b个黑球的概率（a?α，b?β）。(

⑤几何分布

????)a(????a)bCa?b（重复排列）

P(X?k)?qk?1p,k?1,2,3,?，其中p?0，q=1-p。

随机变量X服从参数为p的几何分布。

例2．13：5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开不扔掉，问以下事件的概率？ ①第一次打开；②第二次打开；③第三次打开。

⑥均匀分布

设随机变量X的值只落在[a，b]内，其密度函数f(x)在[a，b]上为常数k，即

a?x?b

?k,f(x)???0, 其他，

1， b?a则称随机变量X在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a，b)。

其中k=

分布函数为

0， x

F(x)??f(x)dx???x

1， x>b。

当a?x1

x1x1P(

例2．14：设电阻R是一个均匀在900~1100Ω的随机变量，求R落在1000~1200Ω之间的概率。

x1?X?x2)??f(x)dx??x2x2x?x11dx?2b?a。 b?a- 13 -

⑦指数分布

设随机变量X的密度函数为 ?e??x, x?0, f(x)?

0, x?0,

其中??0，则称随机变量X服从参数为?的指数分布。 X的分布函数为 ??x1?e, x?0,

F(x)?

0, x<0。

????2?x记住几个积分：

???xe0?xdx?1, ?xedx?2, ?xn?1e?xdx?(n?1)!

00???(?)? ?x??1e?xdx， ?(??1)???(?)

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例2．15：一个电子元件的寿命是一个随机变量X。它的分布函数F(x)的含义是，该电子元件的寿命不超过x的概率。通常我们都假定电子元件的寿命服从指数分布。试证明服从指数分布的随机变量具有“无记忆性”：

P(x0?X?x0?x|X?x0)?P(X?x)。

⑧正态分布

设随机变量X的密度函数为

2??其中?、??0为常数，则称随机变量X服从参数为?、?的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为X~N(?,?2)。 f(x)具有如下性质：

1° f(x)的图形是关于x??对称的； 2° 当x??时，f(?)?f(x)?1e?(x??)22?2， ???x???，

12??为最大值；

3° f(x)以ox轴为渐近线。

特别当?固定、改变?时，f(x)的图形形状不变，只是集体沿ox轴平行移动，所以?又称为位置参数。当?固定、改变?时，f(x)的图形形状要发生变化，随?变大，f(x)图形的形状变得平坦，所以又称?为形状参数。

若X~N(?,?)，则X的分布函数为

2F(x)?12???x??e?(t??)22?2dt。。

参数??0、??1时的正态分布称为标准正态分布，记为X~N(0,1)，其密度函数记为

?(x)?1?2e2?，???x???，

- 14 -

x2分布函数为

。?(x)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。

φ(x)和Φ(x)的性质如下：

1° φ(x)是偶函数，φ(x)＝φ(-x)；

???(x)12??xe?t22dt2° 当x=0时，φ(x)＝

12?为最大值；

3° Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝如果X~N(?,?)，则

21。 2X???~N(0,1)。

所以我们可以通过变换将F(x)的计算转化为?(x)的计算，而?(x)的值是可以通过查表得到的。

?x????x1???P(x1?X?x2)???2?????。

??????分位数的定义。

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