概率论与数理统计专业学习资料(6)

x??(1500)2???3000?x?f(x)??(1500)2??0????求EX。

③数学期望的性质 （1） E(C)=C

（2） E(CX)=CE(X)

（3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，E(0?x?15001500?x?3000

其他?CXii?1ni)??CiE(Xi)

i?1n（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和Y独立； 充要条件：X和Y不相关。 （5） Y=g(X)

离散：E(Y)?n?g(xi?1??k)pk

连续：E(X)??????xf(x)dx

E(Y)????g(x)f(x)dx

例4．4：将一均匀骰子独立地抛掷3次，求出现的点数之和的数学期望。 例4．5：设离散型随机变量X的分布律为

X -2 0 2 P 0.4 0.3 0.3 试求：（1）EX2

（2）X2的分布律

（2）方差

D(X)=E[X-E(X)]2，方差

?(X)?D(X)，标准差

①离散型随机变量

D(X)??[xk?E(X)]2pk

k②连续型随机变量

??D(X)??[x?E(X)]2f(x)dx

??- 26 -

③方差的性质

（1） D(C)=0；E(C)=C

（2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X)

（3） D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b （4） D(X)=E(X2)-E2(X)

（5） D(X+Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立； 充要条件：X和Y不相关。

D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。

E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。

例4．6：X服从N(?1,?1)，Y服从N(?2,?2)，且X,Y相互独立，证明X+Y服从N(?1??2,?1??2)。 类似的，n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布N(?,?)。

22222???Ci?i， ?2??Ci2?i2

ii

例4．7：设X的均值、方差都存在，且D（X）≠0，求Y?例4．8：设随机变量X的概率密度为

X?E(X)D(X)的均值与方差。

f(x)?求E（X）及D（X）。

例4．9：设随机变量X的概率密度为

1?|x|e2(???x???),

?4xe?2xf(x)???0x?0x?0

试求：D（2X-1）

（3）常见分布的数学期望和方差 分布名称 0-1分布 二项分布 泊松分布 符号 均值 p np 方差 B(1,p) B(n,p) P(?) G(p) p(1?p) np(1?p) ? 1 p? 1?p 2pnM?M??N?n??1???? N?N??N?1?几何分布 超几何分布 H(n,M,N) nM Na?b 2- 27 -

均匀分布 U(a,b) (b?a)2 12指数分布 正态分布

①0－1分布

X E(X)=p，D(X)=pq

0 q e(?) N(?,?2) 1 ?1?2 ? ?2 1 p ②二项分布 X~B(n,p)，Pn(k)?Cnpqkkn?k，（k=0,1,2?n）

E(X)=np，D(X)=npq

5432考研论坛（bbs.5432.net）友情提供下载～～ ③泊松分布 P(λ) P(X=k)=E(X)= λ， D(X)= λ

kn?kCMCN?M④超几何分布 P(X?k)? nCN?ke?xk!，k=0,1,2?

E(X)=

nM Nk?1⑤几何分布 P(X?k)?pqE(X)=

⑥均匀分布 X~U[a,b]，f(x)=

，k=0,1,2?

q1， D(X)=2 pp1，[a, b ] b?a(b?a)2a?bE(X)=， D(X)=

122

⑦指数分布 f(x)= ?eE(X)=

⑧正态分布 X~N(μ,σ)，f(x)?2

??x，(x>0)

11， D(X)=2 ??12???(x??)22?2e

E(X)= μ， D(X)= σ

2

- 28 -

例4．10：罐中有5颗围棋子，其中2颗为白子，另3颗为黑子，如果有放回地每次取1子，共取3次，求3次中取到的白子次数X的数学期望与方差。

例4．11：在上例中，若将抽样方式改为不放回抽样，则结果又是如何？ 例4．12：设随机变量X服从参数为λ＞0的泊松分布，且已知E[（X-1）（X-2）]=1，求λ。 例4．13：设随机变量X服从参数为1的指数分布，求E（X-3e-2x）。 例4．14：设（X，Y）服从区域D={（x,y）|0?x?1, 0?y?1}上的均匀分布，求E（X+Y），E（X-Y），E（XY），D（X+Y），D（2X-3Y）。

2、二维随机变量的数字特征

（1）协方差和相关系数

对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩?11为X与Y的协方差或相关矩，记为?XY或cov(X,Y)，即

?XY??11?E[(X?E(X))(Y?E(Y))].

与记号?XY相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也可分别记为?XX与?YY。 协方差有下面几个性质： (i) cov (X, Y)=cov (Y, X);

(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);

(iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y); (iv) cov(X,Y)=E(XY)-(E(X))(E(Y)).

对于随机变量X与Y，如果D（X）>0, D(Y)>0，则称

?XYD(X)D(Y)为X与Y的相关系数，记作?XY（有时可简记为?）。

完全相关?而当??0时，称X与Y不相关。 与相关系数有关的几个重要结论 （i） （ii） （iii）

|?|?1，当|?|=1时，称X与Y安全相关：

?正相关，当??1时，?负相关，当???1时，

若随机变量X与Y相互独立，则?XY?0；反之不真。

若（X，Y）～N（?1,?2,?1,?2,?），则X与Y相互独立的充要条件是??0，即X和Y不相关。 以下五个命题是等价的：

22①?XY?0； ②cov(X,Y)=0; ③E(XY)=E(X)E(Y); ④D(X+Y)=D(X)+D(Y); ⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).

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例4．15：设D（X）=25，D（Y）=36，?XY?0.4。求D（X+Y）及D（X-Y）。

（2）二维随机变量函数的期望

???G(xi,yj)pij，(X,Y)为离散型；?ij????? E[G(X,Y)]??(X,Y)为连续型。???G(x,y)f(x,y)dxdy，??－?－?

（3）原点矩和中心矩

①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即

k

uk=E(X), k=1,2, ?.

于是，我们有

??xikpi??iuk?????xkp(x)dx,?????当X为离散型时，

当X为连 续型时.②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为?k，即

?k?E(X?E(X))k,k?1,2,?.

于是，我们有

??(xi?E(X))kpi??iuk?????(x?E(X))kp(x)dx,?????kl当X为离散型时，

当X为连 续型时.③对于随机变量X与Y，如果有E(XY)存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为ukl，即

ukl?E[(X?E(X))k(Y?E(Y))].

第二节 练习题

1、一维随机变量及其函数的数字特征

例4．16：设连续型随机变量X的概率密度函数是

?ax2?bx?c0?x?1f(x)??

0其他?且已知EX=0.5, DX=0.15，求系数a, b, c。

例4．17：将10封信放入到9个信箱中去，设每封信落入各个信箱是等可能的，求有信的信箱数X的数学期望。 例4．18：一辆送客汽车，载有50位乘客从起点站开出，沿途有10个车站可以下车，若到达一个车站，没有乘客下车就不停车。设每位乘客在每一个车站下车是等可能的并且各旅客是否下车相互独立。设X表示停车的次数。试求E(X)和D(X)。

例4．19：设某一机器加工一种产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机地抽取5件产品检验，如果发现多于1件次品，就要调整机器。求一天中调整机器次数的概率分布及数学期望。

例4．20：地铁到达一站时间为每个整点的第5分、25分、55分钟，设一乘客在早8点～9点之间随机到达，求

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