概率论与数理统计专业学习资料(4)

（2）X是连续型随机变量

先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)，再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。

?2?(3x?1),0?x?1例2．19：已知随机变量X~f(x)??5，求Y?lnX的密度函数fY(y)。

?0,其他?

第二节 练习题

1、常见分布

例2．20：一个袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3个球中的最大号

码，试求X的概率分布。

例2．21：设非负随机变量Ｘ的密度函数为f(x)=A x7e?x22，x>0,则A= 。

例2．22： f1(x)?f2(x)是概率密度函数的充分条件是： （1）f1(x),f2(x)均为概率密度函数 （2）0?f1(x)?f2(x)?1

例2．23：一个不懂英语的人参加GMAT机考，假设考试有5个选择题，每题有5个选项（单选），试求：此人答对3题或者3题以上（至少获得600分）的概率？

例2．24：设随机变量X~U（0，5），求方程4x?4Xx?X?2?0有实根的概率。 例2．25：设随机变量X的概率密度为

2?1?3,??f(x)??2,?9???0,其使得P(X?k)?x?[0,1]x?[3,6] 其他。

2，则k的取值范围是 3 例2．26：已知某种电子元件的寿命（单位：小时）服从指数分布，若它工作了900小时而未损坏的概率是

e?0.9，则该种电子元件的平均寿命是

A． 990小时 B． 1000小时 C． 1010小时 D． 1020小时

例2．27：设随机变量X的概率密度为：?(x)?1?|x|e,(???x???)则其分布函数F(x)是 2?1xe,??2（A）F(x)?????1,x?0,

x?0.- 16 -

?1x?2e,?（B）F(x)???1?x?1?2e??1?x?1?2e,?（C）F(x)???1,???1?x?2e,??1（D）F(x)??1?e?x,?2???1,x?0,

x?0.x?0,

x?0..x?0,0?x?1, x?1.x??

[

]

例2．28：X~N(1,4)，Y~N(2,9)，问P(X≦-1)和P(Y≧5)谁大？ 例2．29：X~N(μ,σ)，μ≠0，σ>0，且P(

2

?1??)=，则α＝？

22、函数分布

例2．30：设随机变量X具有连续的分布函数F(x)，求Y=F（X）的分布函数F（y）。 （或证明题：

设X的分布函数F(x)是连续函数，证明随机变量Y=F（X）在区间（0，1）上服从均匀分布。） 例2．31：设随机变量X的分布函数为F(x)，则Y=-2lnF(X)的概率分布密度函数fY(y)= . 例2．32：设X~U??????,?，并且y=tanx，求Y的分布密度函数f(y)。 22??例2．33：设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y=min{X, 2}的分布函数

（A）是连续函数 （B）至少有两个间断点 （C）是阶梯函数 （D）恰好有一个间断点

第三章 二维随机变量及其分布

第一节 基本概念

1、二维随机变量的基本概念

（1）二维离散型随机变量联合概率分布及边缘分布

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如果二维随机向量?（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y）时，则称?为离散型随机量。理解：（X=x,Y=y）≡（X=x∩Y=y）

设?=（X，Y）的所有可能取值为(xi,yj)(i,j?1,2,?)，且事件{?=(xi,yj)}的概率为pij,,称

P{(X,Y)?(xi,yj)}?pij(i,j?1,2,?)

为?=（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示： Y X y1 p11 p21 y2 p12 p22 ? ? ? ? ? yj p1j p2j ? ? ? pi2 p12 p22 x1 x2 ? xi ? pi1 ? ? ? ? ? pi2 ? p2j ? p21 ? p22 ? p2j ? ? ? 1 这里pij具有下面两个性质： （1）pij?0（i,j=1,2,?）； （2）

??ijpij?1.

对于随机向量（X，Y），称其分量X（或Y）的分布为（X，Y）的关于X（或Y）的边缘分布。上表中的最后一列（或行）给出了X为离散型，并且其联合分布律为

P{(X,Y)?(xi,yj)}?pij(i,j?1,2,?)，

则X的边缘分布为 Pi??P(X?xi)?Y的边缘分布为 P?i?P(Y?yi)??jpij(i,j?1,2,?)；

?ipij(i,j?1,2,?)。

例3．1：二维随机向量（X，Y）共有六个取正概率的点，它们是：（1，-1），（2，-1），（2，0），2，2），（3，1），（3，2），并且（X，Y）取得它们的概率相同，则（X，Y）的联合分布及边缘分布为 Y X 1 2 3 p2j -1 0 0 1 0 0 2 0 p12 1 61 60 1 60 1 31 61 61 61 61 61 31 61 21 31

（2）二维连续型随机向量联合分布密度及边缘分布

对于二维随机向量??(X,Y)，如果存在非负函数f(x,y)(???x???,???y???)，使对任意一个其邻边

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分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={(X,Y)|a

P{(X,Y)?D}???f(x,y)dxdy,

D则称?为连续型随机向量；并称f(x,y)为?=（X，Y）的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。 分布密度f(x,y)具有下面两个性质： （1） f(x,y)?0; （2）

??????????f(x,y)dxdy?1.

????一般来说，当（X，Y）为连续型随机向量，并且其联合分布密度为f(x,y)，则X和Y的边缘分布密度为

fX(x)??注意：联合概率分布→边缘分布

例3．2：设（X，Y）的联合分布密度为

??f(x,y)dy，fY(y)??f(x,y)dx.

???Ce?(3x?4y),?f(x,y)???0,?试求：（1）常数C；

（2）P{0

（3）X与Y的边缘分布密度fX(x),fY(y).

x?0,y?0,

其他（3）条件分布

当（X，Y）为离散型，并且其联合分布律为

P{(X,Y)?(xi,yj)}?pij(i,j?1,2,?),

在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为

P(Y?yj|X?xi)?pijpi?,

其中pi?, p?j分别为X，Y的边缘分布。

当（X，Y）为连续型随机向量，并且其联合分布密度为f(x,y)，则在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为

f(x|y)?在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为

f(x,y)

fY(y)f(y|x)?f(x,y)

fX(x)其中fX(x)?0,fY(y)?0分别为X，Y的边缘分布密度。 例3．3： 设二维随向量（X，Y）的联合分布为 X Y 2 5 0.4 0.15 0.30 - 19 -

0.8 0.05 0.12 8 0.35 0.03 求 （1）X与Y的边缘分布；

（2）X关于Y取值y1=0.4的条件分布； （3）Y关于X取值x2=5的条件分布。

（4）常见的二维分布

①均匀分布

设随机向量（X，Y）的分布密度函数为

?1?S?Df(x,y)???0,??(x,y)?D

其他其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）～U（D）。 例如图3.1、图3.2和图3.3。 y 1 D1 O 1 x 图3.1 y 1 D2 O 2 x 1 图3.2 y d D3 c O a b x 图3.3

例3．4： 设二维连续型随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，其中

D?{(x,y):|x?y|?1,|x?y|?1},

求X的边缘密度fX(x) 画线观察积分上下限。

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