概率论与数理统计专业学习资料(7)

侯车时间的数学期望。

2、二维随机变量及其函数的数字特征

例4．21：设X～N（1，2），Y～N（2，4）且X，Y相互独立，求Z=2X+Y-3的分布密度函数f(z)。

?21n例4．22：设X1，X2，??，Xn为独立同分布的随机变量，均服从N(?,?)，证明X??Xi服从N(?,)nni?12分布。

例4．23：设二维随机向量（X，Y）的联合分布密度函数

?2xe?(y?5)?f(x,y)???0,?则E（XY）=

。

0?x?1,y?5,

其他,y?1所围成的三角形区域，求X，2例4．24：设（X，Y）服从在A上的均匀分布，其中A为x轴，y轴及直线x?Y，XY的数学期望及方差。

例4．25：设随机变量X和Y的联合分布在以点（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量U=X+Y的方差。

例4．26：设X,Y是随机变量，均服从标准正态分布，相关系数?XY＝的值，使D(Z1)＝D(Z2)＝1且Z1和Z2不相关。

1，令Z1＝aX，Z2＝bX+cY，试确定a,b,c23、独立和不相关

例4．27：设随机变量X和Y的方差存在且不等于0，则D（X+Y）=D（X）+D（Y）是X和Y （ ）。

（A）不相关的充分条件，且不是必要条件； （B）独立的充分条件，但不是必要条件； （C）不相关的充分必要条件； （D）独立的充分必要条件。

例4．28：已知（X,Y）的联合分布律为 X\\Y -1 0 1 -1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8 试求（1）E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)；（2）Cov(X,Y)，?XY；（3）判断X,Y是否相关？是否独立？ 例4．29：已知随机变量X和Y分别服从正态分布N（1，3）和N（0，4），且X与Y的相关系数?XY??2

2

1，2设Z?XY?. 32（1）求Z的数学期望E（Z）和方差D（Z）；（2）求X与Z的相关系数?XY；（3）问X与Z是否相互独立？为什么？

例4．30：设A，B是二随机事件，随机变量

若A出现,?1,X??

?1,否则,?

- 31 -

若B出现,?1,Y??

?1,否则.?试证：“X,Y不相关”与“A,B独立”互为充分必要条件。

4、应用题

例4．31：设某产品每周需求量为Q，Q等可能地取1，2，3，4，5。生产每件产品的成本是3元，每件产品的售价为9元，没有售出的产品以每件1元的费用存入仓库。问生产者每周生产多少件产品可使利润的期望最大？ 例4．32：设某种商品每周的需求量X服从区间[10，30]上的均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为区间[10，30]中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理1单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每1单位商品仅获利300元，为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量。

第五章 大数定律和中心极限定理

第一节 基本概念

1、切比雪夫不等式

设随机变量X具有数学期望E（X）=μ，方差D（X）=σ，则对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式

2

?2P(X????)?2

?

切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率

P(X????)

的一种估计，它在理论上有重要意义。

例5．1：设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式估计P{X?E(X)?2}? 。

2、大数定律

（1）切比雪夫大数定律 （要求方差有界）

设随机变量X1，X2，?相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界：D（Xi）

?1n?1n?limP?X?E(X)????ii??1. n???nni?1?i?1?

特殊情形：若X1，X2，?具有相同的数学期望E（XI）=μ，则上式成为

?1n??limP?X?????i??1. n???n?i?1?或者简写成：

limPX?????1.

n????切比雪夫大数定律指出，n个相互独立，且具有有限的相同的数学期望与方差的随机变量，当n很大时，它

们的算术平均以很大的概率接近它们的数学期望。

例5．2：设{Xk}为相互独立的随机变量序列，且

- 32 -

?k??2Xk~???1?22k?1?01?122k?2??,k?1,2,?, ?1??22k?1?k试证{Xk}服从切比雪夫大数定律。

（2）伯努利大数定律

设μ是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数ε，有

????limP??p????1. n???n??

伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即

????limP??p????0. n???n??这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。

（3）辛钦大数定律 （不要求存在方差）

设X1，X2，?，Xn，?是相互独立同分布的随机变量序列，且E（Xn）=μ，则对于任意的正数ε有

?1n??limPXi????????1. n???n?i?1?

3、中心极限定理

（1）列维－林德伯格定理

设随机变量X1，X2，?相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：

E(Xk)??,D(Xk)??2?0(k?1,2,?)，则随机变量

Yn?的分布函数Fn(x)对任意的实数x，有

?Xk?1nk?n?

n??n?X?n??k??1?k?1?limFn(x)?limP??x??n??n??n?2???????或者简写成：

?x??e?t22dt.

X???/n????N(0,1) n??此定理也称为独立同分布的中心极限定理。

（2）棣莫弗－拉普拉斯定理

设随机变量X1，?Xn均为具有参数n, p(0

- 33 -

??1?Xn?np??limP??x??n??2????np(1?p)??x??e?t22dt.

例5．3：某车间有200台车床，在生产时间内由于需要检修、调换刀具、变换位置、调换工件等常需停车。设开工率为0.6，并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1Kw，问应供应该车间多少瓦电力，才能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产。

4、二项定理和泊松定理

（1）二项定理

若当N??时,M?p(n,k不变)，则 NKn?kCMCN?MCNNk?CnPk(1?p)n?k

(N??).

可见，超几何分布的极限分布为二项分布。

例5．4：两只一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其中一罐（取名“甲罐”）内的红球数与黑球数之比为2：1，另一罐（取名“乙罐”）内的黑球数与红球数之比为2：1 。今任取一罐并从中取出50只球，查得其中有30只红球和20只黑球，则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙罐”的概率的 (A) 154倍 (B)254倍 (C)798倍 (D)1024倍

（2）泊松定理

若当n??时,np???0，则

CP(1?p)knkn?k??kk!e??

(n??).

其中k=0，1，2，?，n，?。

例5．5：某人进行射击，设每次射击的命中率为0.001，若独立地射击5000次，试求射中的次数不少于两次的概率，用泊松分布来近似计算。

第二节 练习题

1、切比雪夫不等式

例5．6：利用切比雪夫不等式估计随机变量与其数学期望之差大于2倍标准差的概率。

2、大数定律

例5．7：设X1，X2，?，Xn，?是相互独立的随机变量序列，Xn服从参数为n的指数分布（n=1,2, ?），则下列中不服从切比雪夫大数定律的随机变量序列是：

22

（A）X1，X2，?，Xn，?； （B）X1，2X2，?，nXn，? （C）X1，X2/2，?，Xn/n，?； （D）X1，2X2，?，nXn，?

3、中心极限定理

例5．8：设X1，X2，?为独立同分布序列，且Xi(i=1,2,?)服从参数为λ的指数分布，则

- 34 -

?n??X?n?i???i?1??x???(x). （A）limP?n??n???????n?X???i???i?1 …… 此处隐藏：2563字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……