概率论与数理统计专业学习资料(8)

第六章 数理统计的基本概念

第一节 基本概念

1、总体、个体和样本

（1）总体与样本

总体 在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）；而把总体中的每一个单元称为样品（或个体）。在以后的讨论中，我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。

例如单正态总体X，用

X~N(?,?2)

来表示

我们把从总体中抽取的部分样品x1,x2,?,xn称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。

为了使抽取的样本很好地反映总体地信息，最常用的方法是“简单随机抽样”： （1）代表性。即每一样品Xi与总体X同分布； （2）独立性。即样品抽取互相间不影响。

此时的样本是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。

x1,x2,?,xn表示n个随机变量x1,x2,?,xn注意：在泛指任一次抽取的结果时，（样本）；在具体的一次抽取之后，

表示n个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。

例6．1：总体：100个球，60个红球，40个白球；样本：10个球。

（2）样本函数与统计量

设x1,x2,?,xn为总体的一个样本，称

??? （x1,x2,?,xn）

为样本函数，其中?为一个连续函数。如果?中不包含任何未知参数，则称?（x1,x2,?,xn）为一个统计量。

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2、统计量

（1）常用统计量 样本均值

1nx??xi.

ni?1n12S2?(x?x). ?in?1i?1样本方差

（与概率论中的方差定义不同）

样本标准差

S?1n(xi?x)2. ?n?1i?1样本k阶原点矩

1nkMk??xi,k?1,2,?.

ni?11n???(xi?x)k,k?2,3,?. Mkni?12样本k阶中心矩

1n2（二阶中心矩S*??(Xi?X)与概率论中的方差定义相同）

ni?1

例6．2：用测温仪对一物体的温度测量5次，其结果为（℃）：1250，1265，1245，1260，1275，求统计计量X，S和S的观察值x,,s和s.

（2）统计量的期望和方差

2

2E(X)??，D(X)??2n，

E(S2)??2，E(S*2)?2n?12?, n1n2其中S*??(Xi?X)，为二阶中心矩。

ni?1

3、三个抽样分布（χ、t、F分布）

（1）χ分布

设n个随机变量X1,X2,?,Xn相互独立，且服从标准正态分布，可以证明：它们的平方和

2

2

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W??Xi2

i?1n的分布密度为

nu?1??1u2e2?n?n?f(u)??22??????2???0,u?0,

u?0.我们称随机变量W服从自由度为n的?2分布，记为W～?2(n)，其中

?n????1?????x2e?xdx. ?2?0所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。

n?2 分布满足可加性：设

Yi??2(ni),

则

Z??Yi~?2(n1?n2???nk).

i?1k注意两个结果：E(χ)=n，D(χ)=2n

例6．3：设X1,X2,?,X10相互独立同N（0，2）分布，求常数a, b, c, d使

2

22

Y?aX12?b(X2?X3)2?c(X4?X5?X6)2?d(X7?X8?X9?X10)2

服从?分布，并求自由度m 。

（2）t分布

设X，Y是两个相互独立的随机变量，且

2X~N(0,1),Y~?2(n),

可以证明：函数

T?的概率密度为

XY/n

?n?1?n?1???2?2t??2????f(t)?1? ??n??n?n??????2?我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T～t(n)。

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(???t???).

注意两个结果：E(T)=0，D(T)=

（3）F分布

n(n>2) n?2设X~?(n1),Y~?(n2)，且X与Y独立，可以证明：F?22X/n1的概率密度函数为 Y/n2?n1?n22??n1?n2?????n12??????f(y)???n1??n2???n2?????????2??2???0,?2??y?n1n1?12?n1??1?y???n2??,y?0,y?0.

我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为F～f(n1, n2).

正态分布?1??????，

t1??(n)??t?(n)，

F1??(n1,n2)?1

F?(n2,n1)

2

例6．4：求证：若X ~ t(n)，则X~ F(1,n)。 注意以上三个分布的函数图像。

4、正态总体下统计量的分布和性质

注意一个定理：X与S独立。

（1）正态分布

设x1,x2,?,xn为来自正态总体N(?,?)的一个样本，则样本函数

22udefx???/n

~N(0,1).

（2）t-分布

设x1,x2,?,xn为来自正态总体N(?,?)的一个样本，则样本函数

2tdefx??S/n~t(n?1),

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其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。

（3）?2 分布

设x1,x2,?,xn为来自正态总体N(?,?2)的一个样本，则样本函数

w2def(n?1)S2?2~?2(n?1),

其中?(n?1)表示自由度为n-1的?2分布。

（4）F分布 设x1,x2,?,xn为来自正态总体N(?,?)的一个样本，而y1,y2,?,yn为来自正态总体

2N(?,?2)的一个样本，则样本函数

2F其中

defS12/?1222S2/?2~F(n1?1,n2?1),

1n1S?(xi?x)2, ?n1?1i?1211n2S?(yi?y)2; ?n2?1i?122F(n1?1,n2?1)表示第一自由度为n1?1，第二自由度为n2?1的F分布。

第二节 练习题

1、统计量的性质

例6．5：设(X1,X2,?,Xn)为取自正态总体N(?,?)的样本，令

21n，D（Y）。 Y??|Xi??|，试求E（Y）

ni?1例6．6：从正态总体N(3.4,6)中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间（1.4, 5.4）内的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多大？

22、统计量的分布

例6．7：设(X1,X2,?,Xn)是来自正态总体N(?,?)的简单随机样本，X是样本均值，记

21nS?(Xi?X)2, ?n?1i?121

1nS??(Xi?X)2,

ni?122

1nS?(Xi??)2, ?n?1i?123

1nS??(Xi??)2,

ni?124- 40 -