平行四边形知识点与经典例题(7)

专题 特殊平行四边形的判定

教材母题(教材P69第14题)

如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.

求证：AE＝EF.(提示：取AB的中点G，连接EG)

规律与方法：熟练掌握一般平行四边形的性质与判定，同时掌握特殊平行四边形所具有的特殊性．此题应用正方形的有关性质构造三角形全等是解决此题的关键．

变式1：(2014·滨州)如图，已知正方形ABCD，把边DC绕D点顺时针旋转30°

到DC′处，连接AC′，BC′，CC′.写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程．

变式2：(2014·嘉兴)已知，如图，在?ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连接BE，DF. (1)求证：△DOE≌△BOF.

(2)当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由．

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变式3：如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点E，F分别在AC，BC上，且EF∥AB. (1)求证：四边形EFCD是菱形；

(2)设CD＝4，求D，F两点间的距离．

变式4：如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，点P，Q分别 是AB，AC上的动点，且满足BP＝AQ，D是BC的中点． (1)求证：△PDQ是等腰直角三角形；

(2)当点P运到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由．

变式5：如图，在?ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，点E，F分别是AB，CD的中点，过点A作AG∥BD交CB的延长线于点G.(1)求证：四边形DEBF是菱形；(2)请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明．

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变式6：已知，如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC和CD上， AE＝AF.

(1)求证：BE＝DF；

(2)连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM＝OA，连接EM，FM.

变式7：如图，以△ABC的边AB，AC为边的等边三角形ABD和等边三角形 ACE，四边形ADFE是平行四边形．

(1)当∠BAC满足什么条件时，四边形ADFE是矩形； (2)当∠BAC满足什么条件时，平行四边形ADFE不存在；

(3)当△ABC分别满足什么条件时，平行四边形ADFE是菱形？正方形？

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