数学建模实验报告(7)

disp(['最大特征根 r =',num2str(r)]) CI=(r-3)/2; CR=CI/RI;

disp(['一致性比率 CR =',num2str(CR)])

最大特征根 r =3.0055

一致性比率 CR =0.0047747 w =

0.5949 0.2766 0.1285

最大特征根 r =3.0015

一致性比率 CR =0.0013294 w =

0.0820 0.2364 0.6816

最大特征根 r =3 一致性比率 CR =0 w =

0.4286 0.4286 0.1429

最大特征根 r =3.0092

一致性比率 CR =0.0079433 w =

0.6327 0.1924 0.1749

最大特征根 r =3 一致性比率 CR =0 w =

0.1667 0.1667 0.6667 (7)

w_1=[0.5949;0.2766;0.1285]; w_2=[0.0820;0.2364;0.6816]; w_3=[0.4286;0.4286;0.1429]; w_4=[0.6327;0.1924;0.1749]; w_5=[0.1667;0.1667;0.6667]; W_3=[w_1,w_2,w_3,w_4,w_5]

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w =[0.2566;0.4631;0.0529;0.1078;0.1196] w3=W_3*w w3 =

0.3014 0.2438 0.4548

结果表明方案P3在旅游地选择中占的权重近于1/2，远大于P1，P2，应作为第一选

择地点。

6.8设一容积为V(单位：m3)的大湖受到某种物质的污染，污染物均匀地分布在湖中．若从某时刻起污染源被切断，设湖水更新的速率是r(单位：m3/d)．试建立求污染物浓度下降至原来的5%需要多少时间的数学模型．美国密西根湖的容积为4871×109m3，湖水的流量为3.663959132×1010m3/d，求污染中止后，污染物浓度下降到原来的5%所需要的时间． 一、模型假设 1、，湖水流量为常量，湖水体积为常量； 2、流入流出湖水水污染浓度为常量， 二、符号说明

W（t）: t 时刻水污染浓度 t: 时间，以天作单位 m: 外进湖中水污染浓度 r: 湖水的更新速率 V: 湖水的体积 三、问题分析

问题（一）要求经过500天湖水的浓度，由于流入和流出的湖水浓度不同，我们在考虑此问题时，运用微积分方程和质量守恒定律得出水污染浓度与已知量之间的关系；问题（二）污染源被切断的情况，即湖水的污染浓度不再改变，即m=0，由于问题（二）给出污染物浓度下降到原来的5%，从而可以求得所需的时间。

四、模型的建立与求解

设t时刻湖区的污染物浓度为W（t），考虑时间区间[t，t +⊿t]并利用质量守恒定律： [t，t +⊿t]内湖中污染浓度的变化量=流入湖水的污染量—流出湖水的污染量。 用数学表达式表示为：

V[w(t+⊿t )—w（t）]=rm*⊿t—

于是得，令⊿t→0

dw/dt=a-bx t>0,w(0)=wo 其中a=rm,b=r

求得w(t)=m+(wo-m)e^(-r*t)……（1） 问题（一）中v=5.941e12(m3)

r=4.45365e10, wo=10%, m=5%,t=500代入式中，得： w(500)=5.1178%

在问题（二）中，m=0,从而rm*⊿t=0,其中v=4.871e12,r=3.6635132e10,w(t)=5%*wo 代入表示式（1）中，得：t=398.3(天)。

附录：

用MATLAB解问题（一）过程如下：

r=4.45365e10;v=5.941e12;wo=10;m=5;t=500; w=m+(wo-m).*exp(-r.*t) 结果： w =5.1178 问题（二）

r=3.6635132e10;v=4.871e12;m=0;w=0.05wo; w=m-(wo-m)*exp(-r*t)

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a=log(w);y=a.*(-v)/r 结果：

y = 398.3120

七、插值与拟合

（一）实验目的

1.掌握插值与拟合的内容。

2.学会利用软件求解插值和拟合问题。

（二）实验课时

7.1在化工生产中常常需要知道丙烷在各种温度T和压力P下的导热系数K．下面是实验得到的一组数据：

T(℃) 68 68 87 87 106 106 140 140 p(103kN/m2) 9.7981 13.324 9.0078 13.355 9.7918 14.277 9.6563 12.463 K 0.0848 0.0897 0.0762 0.0807 0.0696 0.0753 0.0611 0.0651 试求T=99℃和P=10.3×103kN/m2下的K． p1=[9.7891,13.324]; k1=[0.0848,0.0897]; p2=[9.0078,13.355]; k2=[0.0762,0.0807]; p3=[9.7918,14.277]; k3=[0.0696,0.0753]; p4=[9.6563,12.463]; k4=[0.0611,0.0651]; a2=polyfit(p2,k2,1); a3=polyfit(p3,k3,1); x1=polyval(a2,10.3); x2=polyval(a3,10.3);

plot(10.3,x1,'k+',10.3,x2,'k+',p1,k1,p2,k2,p3,k3,p4,k4) xlabel('丙烷压力P(*10^3kPa)') ylabel('丙烷导热系数K')

title('在不同温度下丙烷导热系数与压力的关系图')

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在T=87℃和T=106℃之间，仍采用线性近似来求T=99℃时的导热系数K。 x=[87 106]; y=[x1,x2];

z=polyval(a,99) a=polyfit(x,y,1); plot(99,z,'k+',x,y) grid

xlabel('丙烷温度T(℃)') ylabel('丙烷导热系数K')

title('压力10.3*10^3KPa时丙烷导热系数与温度的关系图')

所以，T=99℃和P=10.3*10^3kPa下的K=0.0729

7.2弹簧在力F的作用下伸长x，一定范围内服从胡克定律：F与x成正比，即F=kx．现在

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得到下面一组F、x数据，并在(x，F)坐标下作图，可以看到当F大到一定数据值后，就不服从这个定律了．试由数据确定k，并给出不服从胡克定律时的近似公式． x 1 2 4 7 9 12 13 15 17 F 1.5 3.9 6.6 11.7 15.6 18.8 19.6 20.6 21.1

x=[0 1 2 4 7 9]；

f=[0 1.5 3.9 6.6 11.7 15.6]； A=polyfit(x，f，1) z=polyval(A，x)；

plot(x，f，'k+'，x，z，'r') 运行结果： A =

1.7085 0.0008

即F=1.7085x，说明当x≤9时，大致服从胡克定律．当x≥9后可以用如下二次函数来表示： 运行代码：

x=[9 12 13 15 17];

f=[15.6 18.8 19.6 20.6 21.1]; A=polyfit(x,f,2); z=polyval(A,x); plot(x,f,'k+',x,z,'b') 运行结果： A =

-0.0764 2.6728 -2.2613

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