数学建模实验报告(5)

-X1+X2+X3= 21A1+11A2+A3+31B1+21B2+11B3+ 41C1+31C2+21C3 -X1+X2+X3

☉用lingo对模型求解，结果如下：

(1)投入广告后产量大于需求量时的最大利润为：142500。

此时每天的生产计划为：由A类原油加工成甲、乙、丙三种汽油的量为3000、1333、

667；由B类原油加工成甲、乙、丙三种汽油的量为1500、667、333；不由C类原油加工成甲、乙、丙三种汽油。

不投入广告到甲、乙、丙三种汽油上。

(2)投入广告后产量等于需求量时的最大利润为：142350

此时每天的生产计划为：由A类原油加工成甲、乙、丙三种汽油的量为3000、1333、

667；由B类原油加工成甲、乙、丙三种汽油的量为1500、667、333；不由C类原油加工成甲、乙、丙三种汽油。

分别投入到甲、乙、丙三种汽油上的广告费用为150、0、0。 四． 结果分析

由上可见，投入广告前最大利润为：110000。投入广告后最大利润为：142350。故

投入广告后能为工厂增加更多利润。而且为了达到最大利润，投入广告前不由B类原油加工成甲、乙、丙三种汽油，不由C类原油加工成甲、乙、丙三种汽油，即可以不用某种原油。

五、常微分方程与级数

（一）实验目的

１．学习用matlab求解微分方程命令dsolve. ２．学习matlab泰勒级数展开命令. ３．巩固幂级数的收敛半径、和等概念.

（二）实验学时

5.1 求(1)-(4)题微分方程的通解

22(1) 2xyy??y?1 (2) (xcosy?sin2y)y??1 x(3) y???3y??y?ecos2x (4) y???4y?x?1?sinx

解： (1)

y=dsolve('Dy*2*(x^2)*y=y^2+1','x') y =

i -i (exp(C1 - 1/x) - 1)^(1/2) -(exp(C1 - 1/x) - 1)^(1/2) (2)

dsolve('(x*cos(y)+sin(2*y))*Dy=1','x')

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ans =

-asin(lambertw(-1/2*C1*exp(-1/2*x-1))+1/2*x+1) (3)

dsolve('D2y+3*Dy-y=exp(x)*cos(2*x)','x')

ans =

C2*exp(x*(13^(1/2)/2 - 3/2)) + C3/exp(x*(13^(1/2)/2 + 3/2)) + (13^(1/2)*exp((5*x)/2 -

(13^(1/2)*x)/2)*exp(x*(13^(1/2)/2 - 3/2))*(2*sin(2*x) - cos(2*x)*(13^(1/2)/2 - 5/2)))/(13*((13^(1/2)/2 - 5/2)^2 + 4)) - (13^(1/2)*exp((5*x)/2 + (13^(1/2)*x)/2)*(2*sin(2*x) + cos(2*x)*(13^(1/2)/2 + 5/2)))/(13*exp(x*(13^(1/2)/2 + 3/2))*((13^(1/2)/2 + 5/2)^2 + 4))

(4)

dsolve('D2y+4*y=x+1+sin(x)','x')

ans =

cos(2*x)*(cos(2*x)/4 - sin(2*x)/8 + sin(3*x)/12 - sin(x)/4 + (x*cos(2*x))/4 - 1/4) +

sin(2*x)*(cos(2*x)/8 - cos(3*x)/12 + sin(2*x)/4 + cos(x)/4 + (x*sin(2*x))/4 + 1/8) + C5*cos(2*x) + C6*sin(2*x) 5.2 求解下列初值问题

?d2xdx?2n?a2x?0?2?2dt222dy?dt?x?2xy?y?(y?2xy?x)?0?dx??x?x,dx?Vt?00t?00?yx?1?1?dt??(1) (2)

解：

(1)

dsolve('x^2+2*x*y-y^2+(y^2+2*x*y-x^2)*Dy=0','y(1)=1','x') ans =

x*((4/x + 1/x^2 - 4)^(1/2)/2 + 1/(2*x)) (2)

dsolve('D2y+2*n*Dy+(a^2)*y=0','y(0)=x_0','Dy(0)=V','t') ans =

(V + n*x_0 + x_0*(n^2 - a^2)^(1/2))/(2*exp(t*(n - (n^2 - a^2)^(1/2)))*(n^2 -

a^2)^(1/2)) - (V + n*x_0 - x_0*(n^2 - a^2)^(1/2))/(2*exp(t*(n + (n^2 - a^2)^(1/2)))*(n^2 - a^2)^(1/2))

xxf(x)?esinx?2cosx在点x?0的7阶taylor展开式以及在x=1处的55.3 给出函数

阶taylor展开式．

解： syms x;

f=exp(x)*(sin(x))+(cos(x))*(2^x); taylor(f,0,8) taylor(f,1,6) ans =

(log(2)^3/144 - log(2)/720 - log(2)^5/240 + log(2)^7/5040 - 1/630)*x^7 + (log(2)^2/48 -

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log(2)^4/48 + log(2)^6/720 - 1/80)*x^6 + (log(2)/24 - log(2)^3/12 + log(2)^5/120 - 1/30)*x^5 + (log(2)^4/24 - log(2)^2/4 + 1/24)*x^4 + (log(2)^3/6 - log(2)/2 + 1/3)*x^3 + (log(2)^2/2 + 1/2)*x^2 + (log(2) + 1)*x + 1

ans =

64*cos(6) + exp(6)*sin(6) 5.4用软件求解5.1传染病模中的相关模型。 一、SI模型 假设

1) 总人数N不变，t 时刻病人和健康人的比例分别为i(t),s(t); 2) 每个病人每天有效接触人数为?，且使接触的健康人致病 则可以建立如下模型

?di???i(1?i) ?dt??i(0)?i0解：

0 i=dsolve('Dy=a*y*(1-y)','y(0)=b','t')%

i =

-1/(exp(log((b - 1)/b) - a*t) - 1)

二、SIS模型

若传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染。 增加假设3）病人每天治愈的比例为?。

a??,b?i则可以建立如下模型

?di???i(1?i)??i ?dt??i(0)?i0???/? ~ 一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数，即 1?di???i[i?(1?)]?? ?dt??i(0)?i0 a??,u??,b?i0

解：

i=dsolve('Dy=a*y*(1-y)-u*y','y(0)=b','t')% i =

-((tan((t - (2*atan((- a*i + u*i + 2*a*b*i)/(a - u))*i)/(a - u))*((a*i)/2 - (u*i)/2)) + (a*i -

u*i)/(a - u))*(a - u)*i)/(2*a)

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六、矩阵运算与层次分析模型

（一）实验目的

1理解矩阵及数组概念．

2掌握matlab对矩阵及数组的操作命令（加法、数乘、乘法、转置、逆）． 3求AX=B的通解．

4掌握matlab求矩阵的秩命令． 5掌握matlab求方阵的行列式命令．

6理解逆矩阵概念，掌握matlab求逆矩阵命令． 7会用matlab求解线性方程组．

（二）实验课时

6.1 计算

?123??214???1??02?10?12?????1?12?2?023??＋??； （1）??105?????10?020?????312?1??101??15???02????0310030?； ????（2）?

5?123??214???1??02?10?12?????1?12?2?023??＋??； （1）?

A=[1,2,3;0,2,-1;1,-1,2]; >> B=[2,1,4;0,-1,2;0,2,3]; >> A+1/2*(B.^5)

ans =

17.0000 2.5000 515.0000 0 1.5000 15.0000 1.0000 15.0000 123.5000

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?1??0?312?1??1???0310???0（2）

02035??0?1??0???10???15???02???；

A=[3,1,2,-1;0,3,1,0];

>> B=[1,0,5;0,2,0;1,0,1;0,3,0]; >> C=[-1,0;1,5;0,2]; >> A*B*C

ans =

-6 29 5 32

?310??102?????6.2 设A???121?,B???111?,求满足关系3A?2X?B的X．

?342??211?????

A=[3,1,0;-1,2,1;3,4,2]; >> B=[1,0,2;-1,1,1; 2,1,1]; >> (3*A+B)/2

ans =

5.0000 1.5000 1.0000 -2.0000 3.5000 2.0000 5.5000 6.5000 3.5000

6.3 求下列矩阵的秩．

?120??? (1) ?011? (2)

??123????25??75?75??25319494321743??53132?

54134??2048?1）a=[1,2,0;0,1,1;-1,2,3]; rank(a)

ans =

3

2）b=[25,31,17,43;75,94,53,132;75,94,54,134;25,32,20,48]; rank(b)

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