人教版八年级数学练习试题第一章第二章，难题，好题(6)

点评： 此题比较复杂，难度很大，综合性比较强，是一个探究性试题，利用了直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的性质、等多个知识点，对于学生是能力要求很高，解题关键是正确理解题目所给材料，然后充分利用材料解题． 24．（2011?抚顺）如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，BD为斜边AC上的中线，将△ABD绕点D顺时针旋转α（0°＜α＜180°），得到△EFD，点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，连接BE、CF． （1）判断BE与CF的位置、数量关系，并说明理由；

（2）若连接BF、CE，请直接写出在旋转过程中四边形BCEF能形成哪些特殊四边形； （3）如图2，将△ABC中AB=BC改成AB≠BC时，其他条件不变，直接写出α为多少度时（1）中的两个结论同时成立．

考点： 等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；正方形的判定；等腰梯形的判定；旋转的性质． 压轴题． （1）根据已知条件得出BD=AD=CD．∠ADB=∠BDC=90°，再根据△ABD旋转得到△EFD，得出∠EDB=∠FDC，从而证出△BED≌△CFD，得出BE=CF，∠DEB=∠DFC，再根据∠DNE=∠FNB，得出∠DEB+∠DNE=∠DFC+∠FNB，最后证出专题： 分析：

∠FMN=∠NDE=90°，得出FC⊥BE． （2）根据已知条件得出四边形BEFC是等腰梯形和正方形． （3）根据△ABC中AB=BC改成AB≠BC，得出α=90°时（1）两个结论同时成立． 解：（1）FC=BE，FC⊥BE． 证明：∵∠ABC=90°，BD为斜边AC的中线，AB=BC， ∴BD=AD=CD．∠ADB=∠BDC=90°． ∵△ABD旋转得到△EFD， ∴∠EDB=∠FDC． DF=BD，ED=AD=CD． ∴△BED≌△CFD． ∴BE=CF． ∴∠DEB=∠DFC． ∵∠DNE=∠FNB， ∴∠DEB+∠DNE=∠DFC+∠FNB． ∴∠FGN=∠NDE=90°． ∴FC⊥BE． （2）等腰梯形和正方形． 解答： 如图过F作FM∥BE交CE的延长线于M，则得出平行四边形BFME，推出BF∥CM，即可得出等腰梯形BCEF； 当F与A重合时，所得的四边形是正方形，如图： （3） 当α=90°（1）中的两个结论同时成立， ∵∠BDF=∠EDC=90°， ∴∠FDC=∠BDE，

在△BDE和△FDC中， ， ∴△BDE≌△FDC， ∴BE=CF， ∠DFC=∠DBE， ∵∠DNF=∠BNM， ∴∠BMN=∠FDN=90°， ∴BE⊥CF． 此题考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，旋转的性质等知识点；要注意知识的综合应用，是一道常考题型． 点评： 25．（2014?增城市一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15， （1）求AB的长； （2）求CD的长．

考点： 勾股定理；三角形的面积． 分析： （1）根据勾股定理AB=解答： ，代入计算即可； （2）根据三角形的面积公式，代入计算即可求出CD的长． 解：（1）在Rt△ABC中， ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20， ∴AB==

=25； ∴AB的长是25； （2）∵S△ABC=AC?BC=AB?CD， ∴AC?BC=AB?CD ∴20×15=25CD， ∴CD=12． 本题考查了勾股定理和三角形的面积公式，掌握直角三角形面积的不同表示方法及勾股定理的综合应用是本题的关键． 点评： 26．（2013?威海）操作发现 将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合． 问题解决 将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②． （1）求证：△CDO是等腰三角形； （2）若DF=8，求AD的长．

考点： 专题： 分析： 等腰直角三角形；等腰三角形的判定；含30度角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质． 压轴题． （1）根据题意可得BC=DE，进而得到∠BDC=∠BCD，再根据三角形内角和定理计算出度数，然后再根据三角形内角与外角的性质可得∠DOC=∠DBC+∠BCA，进而算出度数，根据角度可得△CDO是等腰三角形；

（2）作AG⊥BC，垂足为点G，DH⊥BF，垂足为点H，首先根据∠F=60°，DF=8，可以算出DH=4，HF=4，DB=8，BF=16，进而得到BC=8，再根据等腰三角形的性质可得BG=AG=4，证明四边形AGHD为矩形，根据线段的和差关系可得AD长． （1）证明：由图①知BC=DE， ∴∠BDC=∠BCD， ∵∠DEF=30°， ∴∠BDC=∠BCD=75°， ∵∠ACB=45°， ∵∠DCO+∠BCO=75° ∴∠DCO=30° ∵∠DCO+∠CDO+∠DOC=180°， ∴∠DOC=30°+45°=75°， ∴∠DOC=∠BDC， ∴△CDO是等腰三角形； （2）解：作AG⊥BC，垂足为点G，DH⊥BF，垂足为点H， 在Rt△DHF中，∠F=60°，DF=8， ∴DH=4，HF=4， 在Rt△BDF中，∠F=60°，DF=8， ∴DB=8，BF=16， ∴BC=BD=8， ∵AG⊥BC，∠ABC=45°， ∴BG=AG=4， ∴AG=DH， ∵AG∥DH，AG⊥BC， ∴四边形AGHD为矩形， ∴AD=GH=BF﹣BG﹣HF=16﹣4﹣4=12﹣4． 解答： 点评： 此题主要考查了等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，以及三角函数的应用，关键是掌握如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等． 27．（2010?杭州）如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为40千米/时，受影响区域的半径为260千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离P点480千米． （1）说明本次台风是否会影响B市；