曲面拟合的研究与应用(4)

??f1??x?1??f2? F??x????x1????fn??x?1?f1?x2?f2?x2?fn?x2?f1??xn???f2??xn?? （2.4）

???fn??xn??式（2.4）也称为F?x?的Jacobi矩阵。

牛顿法是求解非线性方程组的有效方法，可以看成单个方程情形的牛顿法推广。设x有

fi?x??fix??k??x1,x2,??k??k?,xn?k?（2.3）的一个近似解，则对i?1,2,?为方程组

T,n，

??k??k?fix??x1??k??x1?x?1??k??fix??x2??k??x2?x?k?2?+

??fix??xn????x??xnnk??

k写成向量形式为

k F?x??F?x???F?????x???1?x??k?x

k?1?把使得上式右端为零的向量x作为一个新的近似值，记为x? x?k?1?，即

?x??k???x???Fx? ?F??k??k这就是牛顿迭代法的计算公式。实际计算过程是，先解线性方程组

?k??k??xk???F?x F?x （2.5）

????解出?x??后，令x?kk?1??x?k???x。就可以得到方程（2.3）的近似解。

22??x1?10x1?x2?8?0 ?2??x1x2?x1?10x2?8?0下面来看一个具体的实例，方程组

22x2??x12?10x1?x2?8??2x1?10?这里有F?x???2? ，F?x???2?

x?12xx?10xx?x?10x?8?212??1212? - 12 -

0000选取x????0,0?解方程组F?x???x????Fx??，即

T????0??0???10?8? ???x??? ?1?10???8?100求出?x?0?后，x???x????x????0.8,0.88?。同理计算x?2?,T4可得x????1,1?。

T 可以证明牛顿法在一定条件下是局部平方收敛的。

2.3 曲面拟合

2.3.1 方法的概述

二元函数的逼近在许多领域有着重要的应用。我们面临的大量问题是从一组离散数据去构作曲面，例如，地质结构中趋势面的分析、心电图的模拟等等。所构造的曲面应具有逼近和几何特征，这里侧重于前者，而将数值方法的描述放在首位。

（1）数据分布是否规则？对分布在矩形格点上的数据，应用乘积型方法逼近。若数据分布是散乱的，常用的方法有样条函数的最小二乘法，Shepard方法，二部逼近法。

（2）数值方法的选择还将依赖于原始数据的准确度。在大量实际问题中，实测数据仅有三至四位准确。一般讲，在这种情况下，局部逼近优于全局逼近。而磨光法是一个简单的方法。

（3）全局逼近、局部逼近和二步逼近的选择。局部逼近即“分片发”，也就是将大范围的拟合问题分割为许多互不相交的小片上拟合。方法的优点是计算简单，容易保持几何特性，其缺点是连接处甚至可能不连续。在散乱数据的拟合中，可针对每一点来建立一个拟合曲面，这也是一种局部逼近问题。二步逼近法常常用于非规则数据中，作为第一步，是将数据规则化，即将矩形的格子点的函数值补齐，局部逼近是这一步的常用方法。第二步，利用乘积型方法将曲面构作出来

（4）基函数的选择是一个极重要但又不容易解决的问题。目前有下列几种不同的考虑。

乘积型的基函数??i?x??j?y??。例如可选择为?1,x,y,xy,x2,y2?或乘积型B

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样条函数?Bi,k?x?Bj,k?y??；或者是y方向是1,y,y2为基，x方向用B样条函数为基的混合乘积型，即将曲面模型选为

z?F?x,y????clmBl,4?x?ym

m?0l?12n当我们考虑散乱数据逼近的时候，距离是一个重要因素，也就是说远离

?xi,yi?的那些点的函数值对f?xi,yi?的影响是微小的。因而，基函数中常考虑

含有

1?ri?x,y?1?x?xi???y?yi?n22

的因子。例如

z?F?x,y???arii2x,?yi?1,? ?logrix?y ?bx1?b2y?b3 又例如，取曲面方程为

z?F?x,y???airi3?x,y??b1x?b2y?b3

i?1n上式称之为准三次样条，它属于C1函数类。

再则，基函数可有光滑函数的极小解产生。假定X是定义在?上具有一定光滑度的函数集合。即U是X中满足插值条件的函数集合，即

xiy, U?u?Xu??i??zii,?1,2,,N?

又设?是定义在X上的泛函，它度量着X中元素的光滑性，即??f?越小，f便越光滑，于是，可考虑下面的极小问题，即在U中求F使 ??F??inf??u?u?U。

（2.6）

类似于一元样条函数的部分性质，称F为关于?zi?1的样条插值函数。这里，举出几个例子来说明它在曲面构造中的应用。

N - 14 -

假定X是半模

的希氏空间，??f??f，而

N?f?Xf?0（2.7）

??，

Duchon证明了，对X加上一个不太强的条件，（2.6）的解是唯一的。此外，还可以证明，存在着一个再生核K，它定义在???，使得（2.6）的解可表成???????????????????????????F?x,y???aiK?x,y;xi,yi???bipi?x,y?

i?1i?1Nd这里?pi?1是N的基底，也即是说，我们寻找拟合曲面的一组基K?x,y;xi,yi?及

Npi?x,y?，它由光滑泛函的极小解析产生，而且系数ai、bi由方程组

d?N??K?xj,yj;xi,yi?ai??bipi?xj,yj??zjj?1i?1?? ?j?1,2,,N

?N??aipk?xi,yi??0,k?1,2,,d??i?1所决定。这里，一个困难的问题是再生核的构造。如果?是矩形域，取泛函?

2???2u?2?2u??2u?????????????????????????u??????2??2??2??dxdy

?x??x?y??y??D????X取适当的空间，那么??u??min的解便是萡板样条或准三次样条。

如果再记E?F?是关于F的逼近泛函，例如 E?F????F?xi,yi??zii?1N?2

那么在X中寻找u使

p?u??p??u???1?p?E?u??min

便得到希氏空间的光顺样条。

（5）基函数的个数决定也是一个实际问题。如果f?x?是定义在?0,1?上的k次可微函数，且f?k???L，记g?x?是它的Lagrange代数插值多项式。那么

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1k?L?为了g?x?达到?的精度，需要插值数据N的数目???。我们希望这个结果推

???广到多变量的情况。首先考虑到Lagrange乘积型代数插值。如果要求在x和

?y方向的逼近误差限为，且假定f关于k的歌阶导数的界为L，那么需要的

2?L?数据N???。?熵理论已应用到多元函数逼近理论中来。假定f的k阶混合

???2k导数的界为L，?是逼近准确度，那么基函数数目N?可取成

?L? log2?N?????

???nkLorente于1966年指出了一个结果;如果f?x,y?在?0,1???0,1?上连续，那么存在着两组连续函数?i?x?和?i?x?,i?1,2,5,5使得f?x,y?可表成

f?x,y????i??i?x???i?y??

i?1这里?i??是依赖于f?x,y?的单变量连续函数。

2.3.2 曲面拟合的最小二乘法

设拟合曲面z?f?x,y?在矩形网格点?xs,yt?s?1,2,型值已给。选定一组乘积基函数??i?x??j?y??NMi?1,j?1,n,t?1,2,m,的

，并假定n?N,m?M。再给

定f?xs,yt?的权系数?s?t,?s?0,?t?0,用最小二乘法寻求二元曲面 z?F?x,y?????kl?k?x??l?y?

k?1l?1NM的逼近参数??ij?NMNMi?1,j?1，它使f?x,y?,F?x,y?在网格点上的值的差的平方和，在

权??s?t?s?1,t?1的意义下达到最小，即

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