曲面拟合的研究与应用(2)

1.2曲面拟合的最小二乘法

曲面拟合是一种古老而常用的技术，在工程实验统计和计算机图形等方面有着广泛的应用。曲面拟合是曲线拟合的延伸和扩展。因此，我们可以借鉴曲面拟合的方法，来做曲线拟合。

曲线拟合是在二维平面上进行的，对于给定的一组观察值

?xi,yi?,i?1,2,,n我们需要通过这张表求出一个简单函数P?ixnP?x?近视地表示f?x?。纵观现已存在的???f?ix??iy1?,i2,?。并用

曲线拟合即参数估计的算法,主要有解析法和直接法两大类。 直接法又称插值法，插值法有很多种方法，拉格朗日插值、牛顿插值法、埃尔米特插值、分段低次插值和三次样条差值。而解析法则主要是指最小二乘法。本文就是要对最小二乘法作主要的介绍，并且将曲线拟合的最小二乘法推广到曲面拟合的最小二乘法。近代的曲面拟合方法也有很多，按照数据分布是否规则，可以分为乘积型方法和样条函数的最小二乘法，Shepard方法，二部逼近法等。这里研究的最小二乘法属于解析法，最小二乘法具有许多其它拟合方法无法比拟的优点，具体表现在：

1 .不需要事先确定拟合函数的类型。 2 .由于紧支概念的引入不需要进行分块拟合。

3 .不需要求解线性方程组从而避免了求解时方程组的系数矩阵可能是病态的情况。

4 .精度比较高能够捕捉到数据的剧烈变化。

5. 只要选择合适的基函数和权函数可以得到足够光滑的拟合曲面。

最小二乘法最大的缺点就是计算过程比其它拟合方法要稍微复杂，计算量也相对要大一些,然而和其所具有的优越性相比，这些都是可以接受的。利用最小二乘法进行曲线曲面拟合，为曲面拟合以后的发展提供了方向。

1.3设计的思想和采用的方法

通常经过测量或者采集可以得到一组离散数据点 ?xi,yi,zi?,i?1,2,n ，

这里?xi,yi,zi?为坐标值。由于这些数据点并非完全精确，而且函数z?f(x,y)的表达式预先无法知道，需要在给定的函数类f上根据这些离散数据作出逼近曲

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面。因为离散数据有误差并不要求逼近曲面经过数据点而只是要求逼近曲面

f?x,y?的误差的某个指标达到最小。曲面拟合方法一般使用最小二乘法， 通过使误差的平方和最小得到一个线性方程组，求解一个非线性方程组就可以得到拟合曲面。如果离散数据量比较大形状复杂还需要进行分块拟合和平滑化这在实际中往往带来一定的困难。

对于给定一个含参数c1,c2,值?xi,yi,zi?,i?1,2,G?c1,c2,n,cm的函数表达式z?f(x,y)和一组数据观察

n，我们需要求出表达式z?f(x,y)的参数。构造函数

2,cm?????f?xi,yi??zi??，根据最小二乘法的原理，要使函数G达到

i?1最小。利用数学分析的方法，G对cj?j?1,2,m?求偏导数，得到m个方程

nn?n?G?f?f?f??2???f?xi,yi??zi???c?2??f?xi,yi??c??zj?c??0 ?cji?1i?1?jjj??i?1?即

n?f?f ?j?1,2,fx,y?z????iii?c?ci?1i?1jjnm?

,cm的解。这样便完

最后利用牛顿法求解这个非线性方程组，得到参数c1,c2,成了函数z?f(x,y)的拟合。

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第2章 曲面拟合的基本知识

2.1 曲线拟合

2.1.1 问题的提出

在生产实际及科学实验中，经常要研究变量之间的函数关系，但是在很多情况下，又很难找到具体的函数表达式，往往只能通过测量或者观测，获得一张数据表，即

x x1 x2 y y1 y2

xn yn

这种表格给出的函数，无法求出不在表中点的函数值，也不能进一步研究函数的分析性质，如函数的导数及积分。有的虽然能给出一个函数的分析表达式，但式子复杂，不适合使用，为了解决这些问题，我们设法通过这张表格求出一个简单函数P(x)，使P?xi??f?xi??yi?i?1,2,,n?，并用P(x)近似地表达

f?x?。但是，这些节点上的函数值一般都是由测量或者实验得到的数据，其本身往往不可避免的带有测试误差，如果个别点上的误差较大，就会引起插值函数户发生严重的波动，从而影响逼近的精度。为了尽可能减少这种测试误差的影响，我们希望用另外的方法来构造逼近函数，使得从总的趋势上来说更能反映被逼近函数的特性。或者说，希望求得的逼近函数与已给函数值，从总体来说其偏差按平方度量能达到最小，这就是最小二乘法。 2.1.2 曲面拟合的牛顿插值法

牛顿插值可以看成做直线方程点斜式的推广。将n+1个插值节点

x0,x1，…，xn的n次插值多项式表示为

Nn?x??a0?a1(x?x0)?a2(x?x0)(x?x1)?…?an(x?x0)…(x?xn?1)

或递推形式

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…,n, Nk?x??Nk?1?x??ak(x?x0)…(x?xk?1) (k?1,2确定。

为解决这个问题，首先引进差商的概念，得到一般情形下牛顿插值公式；再引进差分的概念，得到等距情形下牛顿插值公式。 （1） 差商概念

定义6.2 给定函数f?x?在n?1个互异节点x0,x1，…，xn上的函数值

y0,y1，…，yn，称

f?x1??f?x0?y1?y0为f?x?关于点x0,x1的一阶差商（或?x1?x0x1?x0称均差），记作f?x0,x1?。即

f?x0,x1??y1?y0 x1?x0而

f?x0,x2??f?x0,x1?x2?x1?f?x0,x1,x2?

称为f?x?关于x0,x1,x2的二阶差商。一般地

f?x0,…,xk?2,xk??f?x0,…,xk?2,xk?1?xk?xk?1称为f?x?关于x0,x1,…,xk的k阶差商。 （2）差商的性质及差商表

下面不加证明地列举差商的三条性质。

?f?x0,x1,…,xk?

性质6.1 k阶差商f?x0,x1, ,xk?为f?x0?,f?x1?,…,f?xk?的线性组合，即

f?x0,x1,…,xk???j?0kf?xj??'k?1(xj)

f?xj? ??kj?0?xj?x0?…?xj?x??x?jx?j1??j1…?x?xj?

k - 5 -

性质2.1 在k阶差商f?x0,x1,…,xk?中，任意调换xi与xj的次序，其值不变，这个性质称为差商的对称性。

性质2.2 常数差商为零，n次多项式的k阶差商为(n?k)此多项式。 (3)一般情况牛顿插值公式

设x是区间?a,b?上的一点，由f?x?关于x0,x的一阶差商，f?x?关于直至f?x?关于x0、x1、…、xn、x的n阶差商，有下列等式x0,x1,x的二阶差商，成立：

?f?x??f?x0??f?x0,x??x?x1???f?x0,x??f?x0,x1??f?x0,x1,x??x?x1? ??...?f?x,x,…，x,x??f?x,x,…，x??f?x,x,…，x,x??x?x?01n01n01nn?把上式中的后一式代入前一式，即得

f?x??f?x0??f?x0,x1??x?x0??…?f?x0,x1,…，xn??x?x0?…?x?xn?1?? f?x0,x1,…，xnx,??x?x?0…?x?xn? ?Nn?x??Rn?x? 其中

Nn?x??f?x0??f?x0,x1??x?x0??…?f?x0,x1,…，xn??x?x0?…?x?xn?1? Rn?x??f?x0,x1,…，xn,x??x?x0??x?x1?…?x?xn?6.25 容易验证下面几个结论成立： （1）Nn?x?是一个n次多项式

（2）Nn?x?满足插值条件Nn?xi??yi(i?0,1,…,n)。因此Nn?x?是一个n次插值多项式，称为牛顿插值公式，Rn?x?即为插值余项。 （3）差商与导数有下面关系式

1f?x0,x1,…，xn??f?n????,???a,b?（6.26）

n!（4）Nn?x?具有递推公式

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