曲面拟合的研究与应用(3)

Nn?x??Nn?1?x??f?x0,x1,…，xn??x?x0?…?x?xn?1?

上面讨论的是节点任意分布的牛顿插值公式。但在实际应用中，经常遇到等距节点的情形，这时牛顿插值公式可以进一步简化，同时可以避免做除法计算。

定义2.2 设y?f?x?在等距节点xk?x?k?0,1,0?kh处得函数值为,?nfk?f?xk?，h为常数，称为步长；称

?fk?fk?1?fk， ?fk?fk?fk?1， ?fk?fk?12?fk?12

分别为f?x?在xk处以h为步长的一阶向前差分，向后差分和中心差分。

同样可以定义m阶差分，并记作

?mfk??m?1fk?1??m?1fk，?mfk??m?1fk??m?1fk?1 下面不加证明列出几个差分性质。 （1）各阶差分值均可用函数值线性表示：

m?m?m?j?m?m?fk????1???fk?m?j， ?fk????1???fk?j?m

j?0j?0?j??j?mmj其中

?m?m?m?1??m?i?1? ???

j!?j? （2）查商和差分有如下关系： f?xk,xk?1, f?xk,xk?1,11m?fk m!hm11m,xk?m???fk mm!h,xk?m?? （3）差分和导数的关系如下：

?mfk?hmf?m???? （?在xk与xk?m之间）

(4)常数差分为零，n次多项式的m阶差分为一个n?m次多项式。

设y?f?x?在等距节点xk?x0?kh?k?0,1,,n?上的函数值为fk。将一般

情形的牛顿插值公式中的各阶差商用相应的差分代替，就可以得到等距节点牛顿插值公式。这里只推导常用的牛顿向前插值公式与牛顿向后插值公式。

（1）牛顿向前插值公式

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设插值点x在x0附近，一般有x0?x?x1可令x?x0?th?0?t?1?，于是 wk?1?x???x?x0??x?x1??x?xk??t?t?1??t?k?hk?1

?t?t?1?将上式代入一般情形的牛顿插值公式，得到牛顿向前插值公式： Nn?x0?th??f0?t?f?其余项为

Rn?x0?th??t?t?1?2?f0?2!n!?t?n?1??nf0

t?t?1??t?n?n?1?n?1?hf???,???x0,xn?

?n?1?!牛顿向前插值公式通常用于计算表头附近插值点x的函数值。 (2)牛顿向后插值公式

当计算在xn附近的函数值时，可将插值节点的次序由大到小排列，即

xn,xn?1,,x1,x0。令x?xn?th??1?t?0?，xk?xn??k?n?h，此时一般的牛顿

t?t?1?2?fn?2!t?t?1??t?n?1?n?fn

n!插值公式变为

Nn?xn?th??fn?t?fn?其余项为

Rn?xn?th???t?t?1??t?n?n?1?n?1?hf???,???x0,xn?

?n?1?!牛顿向后插值公式通常用于计算在表尾附近插值点x的函数值。 牛顿向前插值公式与牛顿向后插值公式二者都具有自动选节点并逐步比较精度的特点。

2.1.3曲线拟合的最小二乘法

最小二乘原理提出了一种标志曲线拟合好坏的标准，按这个标准，对于m对数据?xi,yi??i?1,2,m,?去求系数aj?j?0,1,,n?的最佳值，应该使函数

F?a0,a1,法如下：

,n?取最小值，这就可以用多元函数求极值的方法进行计算。具体做

mmnF(a0,a1,,an)??[P(xi)?yi]??(?ajxij?yi)2

2i?1i?1j?0 - 8 -

对ak?k?0,1,,n?求偏导数，得到n?1个方程

mnm?Fjk ?2?(?ajxi?yi)xi?2?(?aki?1j?0i?1?aj?0n?jkjix??i?1m 0yikx)i?即

为了简单，记 则式（2.1）可以写成

?a?xjj?0i?1mnmj?ki??yi?1mik i （2.1） x?xi?1mki?Sk ，?yixik?Tk ?k?0,1,i?1,n?

?aj?0njSk?j?T k?k?0,1, ,n? （2.2）

方程组（2.2）称为正规方程组，它是关于aj为未知数的n?1阶线性方程组。可以利用求解线性方程组的各种数值方法，求出aj的值，便可得到与已知数据的误差平方和为最小的多项式P(x)。为了计算方便，再分析一下方程组（2.2）的特点，为此把方程组（2.2）写成矩阵形式，即有

S1S2a?S0?0??TnS??0??????S2S3a1??T1nS???1?S1???a?2???TS3S4 ?S2 2nS?2?????????????S??a???TS?n2S?12??n?nSn?n??n简记为

Ga?d

我们看到，系数矩阵中在同一条反对角线上的元素都是相等的。因此，在计算时只要求出第1行及第n?1列中的2n?1个元素，然后按照此规律即可写成系数矩阵。其次，按公式求出n?1个Tk值，于是就得到正规方程组（2.2）。 到此为止，我们自然会提出这样两个问题。一是方程组（2.2）是否一定有解，二是如果有解。解是否一定能使F?a1,解决这两个问题。

（1）存在唯一问题

,an?取得最小值。下面我们分别来

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要证明方程组（2.2）是否有解，只要考虑他的系数行列式?是否为零。 用反证法证明，如果??0，则对应式（2.2）的其次方程组

?aSii?1nk?i?0

有非零解，现在将上述方程组中第k个方程组乘以ak?k?1,2,有的k相加，得到

0??ak?aiSk?1??ak?a?xk?1mi?1k?1i?nnnnmk?iij1j?1,n?，然后对所

=?(?akx)(?aixij)

kjj?1mnnk?1i?1m2?ni??? =???aixj????P?xj??

j?1?i?1j?1?2? 这就是说，如果???P?xj???0，则多项式P?xj??0?j?1,2,j?1m2,m?，即

P(x)有m个零点，但有假定，P(x)是一个n次多项式，所以P(x)只能有n个零

点，且n?m，因此上述假定??0是不合理的，于是??0。则方程组（2.2）

有唯一解。

（2）取得最小值问题

证明由式（2.2）所求得的ak使F?a1,设 p?x???ibix

i?1n,an?取得最小值。

???是任意一个n次多项式，要证明???P?xj??yi?比??P?xj??yi?大，记

j?1j?1m2m2 ????P?xj??yi????P?xj??yi?????j?1j?1m2m2????? =???p?xj??P?xj???2??P?xj??P?xj???P?xj??yj?

j?1j?1m2m - 10 -

考察上式的第二项，并由式（2.1），即可得

??????P?x??P?x???P?x??y?

jjjjj?1m?n??? =????bk?ak?xkj??P?xj??yj?

j?1?k?0??xk =??bk?ak???Px?y??jj??j

k?0j?1nmm?m? =??bk?ak????aixij?k?yjxkj??0

k?0j?1?i?0?所以

????p?xj??P?xj???0 ??j?1这说明P?x?是使F?a1,m2nm,an?取得最小值的n次多项式。或者说，P?x?是在这

样度量下的最好拟合多项式。

2.2 解非线性方程组的牛顿迭代法

含有n个未知数和n个方程的方程组记为

F(x)=0 （2.3） 其中，

?f1?x???f1?x1,x2,?x1??????xfx??2?=?f2?x1,x2, x??? F?x???2?????????f?x?????x?n??n??fn?x1,x2,,xn???,xn?? ??,xn???f1,f2,,fn是定义在D?Rn上的n元实值连续函数。当n?1时，式（2.3）

式（2.3）就是线性方程组。,n?都是线性的，F?x?就是单个方程。如果fi?i?1,2,的导数F??x?为

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