07 粘性流体动力学基础 - 图文(4)

vx?称为平板湍流的速度对数分布律。

v??lny?C? k (7-46)

以上分析在非常接近壁面处是不成立的，由于该处雷诺应力变小，粘性力增大，事实上，上式的对数项在该处已经发散。在非常接近壁面的区域，考虑到粘性力占主导地位的事实，有

?积分得到满足边界条件的解为

dvx??w dy2v? (7-47)

vx???y

(7-48)

上式表明流体的速度呈线性分布，由于该层中粘性力占主导，通常称为粘性底层。粘性底层比边界层薄得多，其外满足速度对数分布律的区域称为对数律层，两者间存在一个过渡层。

而工程上通常采用如下的近似方法求解平板湍流边界层。在没有压力梯度的情况下，

在105?Rex?vex/??107的范围内，vxve??y??1/n的指数函数形式对平板湍流边界层内

的速度分布近似成立，其中n?7。当Rex变小的话，n将比7小，随着Rex的增大，n会变大，在有压力梯度的情况下，指数定律的精度会降低。

采用上述指数函数形式求解平板湍流边界层，并借鉴圆管湍流关于壁面阻力的研究成果，假设

????0.0225?v?2?ve?e

与平板层流边界层的计算类似，有?2??有

?w????1/4 （7-49）

?01f?1?f?dy?a2??7?，利用动量积分式（7-34）72??7d??0.0225??v?72dx?e????1/4 （7-50）

可以认为平板边界层是从前缘开始的，当x?0时??0，积分上式得：

??x??0.37其中Rex?x/5Re1x （7-51）

vex?，上式即为湍流平板边界层厚度沿x方向的计算公式，与式（7-38）相比，湍

流边界层厚度是x的0.8次方，而层流边界层厚度是x的0.5次方。可见湍流边界层厚度增长比层流边界层要迅速。与第六节类似，可求解如下物理量 边界层动量厚度：

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?2?x??0.036

壁面摩擦阻力系数：

x/5Re1x （7-52）

d??vx?Cf?22?0.0576?e?dx???平均壁面摩擦阻力系数：

?1/5 （7-53）

CDf1l?vl??Cfdx?0.072?e?l0????1/5? （7-54）

式中的系数可根据实验数据稍加修正，得出Prandtl湍流边界层阻力计算公式：

CDf?vl??0.074?e?????1/5，适用范围为105?Rel?vel??107。相应的Blasius层流边界层阻力计算

公式见第六节，图7-5给出它们随雷诺数变化的曲线表示形式（曲线①和②所示）。针对实验数据的其它拟合曲线形式本节不作详细介绍。

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图7-5 平板阻力系数

第八节 边界层的分离

本章中重点讨论了平板边界层，但这只是最简单的一种边界层流动。在平板绕流中，势流流场中的压强及速度保持为常数，而当固体壁面为曲线时，压强会沿程变化。逆压梯度区将有可能产生边界层分离现象。

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为了说明边界层的分离，先来分析一下二维椭圆柱大雷诺数绕流问题的流动图象（Bradshaw，1970）。在椭圆柱的迎流面区域，外部势流是加速的，压力梯度dp/dx?0。如果流体是理想的，它在上下顶点位置上达最大速度，然后进入逆压区减速，直至后驻点处速度下降为零。而在粘性层中的流体运动，由于粘性损耗了一部分动能，在同样的压力梯度下，流体的速度在到达后驻点前便降为零。这时其后的流体不会继续静止，在当地逆压梯度的作用下会形成逆流，它使得顺壁而下的边界层产生分离，离开壁面进入外流区。这使得涡流区迅速变厚，形成复杂的尾迹。

图7-6 椭圆柱绕流

一般我们称在边界层坐标x的某一固定点处的速度vx随y的变化曲线，为边界层的速度

??2vx剖面。在接近边界层的外缘处, y??，vx?ve，由边界层方程式（7-24）有???y2????0，??y??故在接近边界层的外缘处，速度剖面是凸向下游的曲线。另外由边界层方程（7-22b），恒定流动在不可渗透的固体壁面上，y?0，

??2vxu?v?0：有??2??y??1?p??，故在物面上速???x?y?0度剖面的曲率决定于

?p。 ?x?2vx?p?0，即对于柱形体的二维定常绕流，在物面附近的顺压梯度区中?x?y2?0，即

y?0在物面上的速度剖面也是凸向下游的曲线，因此整个速度剖面没有捌点。在物面的逆压梯度

?2vx?p?0，即区中?x?y2?0，即在物面上速度剖面是凹向下游的曲线，故在速度剖面上必

y?0x然出现捌点。同时在逆压梯度区，通常?w?????y??随x的增加而减小的，如果在某点

??y?0??v???vxx?xs，???y???vx???y?

??vx????0即壁面的切应力。而当时，??0x?xws??y???y?0???0，x?xs时，??y?0???0。这就是说，当x?xs时，物体表面附近发生了反向回流。从壁上x?xs这一??y?019

点起，流体不再贴着物面流动，而是从物面“分离”出去。S称为分离点，如图7-7 至7-9所示。

边界层分离后所形成的尾流区中流动通常是非恒定的，涡旋周期性的脱落，将影响附近的势流流场，使得压强也周期性变化，从而分离点的位置通常是有所摆动的。边界层分离不但依赖于雷诺数，也与压力分布、表面曲率、表面粗糙度、来流湍流度及其它环境因素有关。由于边界层分离对绕流物体的升力和阻力特性都有重要影响，随着边界层理论的发展，工程中有不少利用和避免边界层分离的相应措施，此处不作深入叙述。

图7-7顺压梯度时边界层特性

图7-8 逆压梯度时边界层特性

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图7-9 分离点附近的流动

习题

1． 试运用微元体法推导牛顿流体的连续和运动方程。 2． 查阅相关资料，学会用Prandtl 展开法推导边界层方程。

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