07 粘性流体动力学基础 - 图文(2)

目前边界层理论已成为近代流体力学的重要基石，它澄清了大雷诺数流动问题中粘性对流动的影响。在许多情况下，大雷诺数与湍流相互关联，本章将分节讨论低速层流边界层和湍流边界层。边界层理论基于大雷诺数流动的近似，首先需在近似中保留部分粘性项而建立Prandtl边界层方程。为了说明边界层的基本特征，本章将先引出描述边界层的数学方程式，接着讨论一个最典型的边界层流动（平板边界层），然后再介绍边界层分离现象。

图7-3 边界层内的涡旋和速度分布示意图

第三节 边界层的微分方程式

由粘性流体力学的基本方程，采用量级分析方法和普朗特展开方法都可以推导出边界层的微分方程式。本节将介绍第一种方法。考虑大雷诺数的二维绕流问题，假定固壁是平直的(平板或楔)。设y轴与壁面垂直，x轴与壁面平行且指向下游，坐标原点和顶点重合，如图7-3所示。连续性方程和动量方程的两个投影分别为

?vx?vy??0 ?x?y (7-20a)

??2vx?2vx?vx?vx?vx1?p?vx?vy???????x2??y2?t?x?y??x??? ?? (7-20b)

?vy??2vy?2vy1?p?vx?vy?????2?2??x?t?x?y??y?y??vy?vy?? ?? (7-20c)

当雷诺数Re远大于1时，在边界层内x方向和y方向的物理量具有不同的数量级。设板长为L、无穷远来流速度为U，边界层厚度为?（当横截面上速度恢复到99％时的厚度）、边界层外缘的y向速度分量为V。且有

V?~~UL1Re??1。取L、U分别为x方向的特征长

度与特征速度； ?、V分别为y方向的特征长度与特征速度。p?为远前方来流的静压，则将

x*?vxy， y*?，vx*?x， L?Uvy*?vyV t*?tUp， p*? Lp?代入式(7-20)中并将各项的量级标注如下：

6

*U?vxV?vy??0 **L?x??y*

1 1 (7-21a)

?vx*?t*?vx*?vx*2*2*?2?v?vx?p??p*VL*?vx1?Lx? ?v????y*22*2??x*U??y*?U2?x*Re??x??y??* 1 1 1

1（1 ReRe） (7-21b)

***?2*2*?*??v?v?v?v?vy?p1??p1y?y?v*y?v*y????? ??Rexy***?2*2?*2*2??Re?t?x?y??U?yRe??x?y??1 Re

1（1 Re2Re） (7-21c)

当Re>>1时，在式（7-21）中略去高阶小量，并恢复为有量纲的形式可得

?vx?vy??0 ?x?y (7-22a)

?vx?vx?vx?2vx1?p ?vx?vy????2?t?x?y??x?y (7-22b)

?p?0 ?y (7-22c)

式(7-22c)表明边界层内压力的法向梯度近似为零，只是x的函数，它可由外部势流区的压力分布来描述。考虑到边界层外的势流区的速度只有一个方向的分量vx?ve?x?，则欧拉方程简化为

?vedv1dp ?vee???tdx?dx将(7-22b)式中的压力项用外流速度表示，得到

(7-23)

?vx?vx?vx?vedve?2vx ?vx?vy??ve??2?t?x?y?tdx?y (7-24)

7

对于曲率不大的二维曲面壁而言，分析表明，只要将x取成沿壁面的流线坐标，边界层方程的形式与上式完全相同。在边界层方程中，保留了惯性力项，部分保留了粘性力项，压力项由外部势流解给出定。与Navier-Stokes方程组相比，边界层方程组是大大的简化了，方程由椭圆型方程变为了抛物型方程，使问题的求解由二维无穷域变为一个半无限的长条域。 对于前者必须在封闭边界上给出边界条件，而对于后者则下游边界条件无需给定，只需给出：

vx?0 vy?0 ?y?0: ? vx?U ?y??: (7-25)

边界层方程仍然是非线性的。边界层内的解与外部势流区的解在边界层的边缘上衔接，在给定边界层方程外部边界条件后，对边界层方程的求解时，则需要对边界层厚度的定义加以说明。

第四节 边界层厚度

边界层是在大雷诺数流动中近壁处的涡量集中区。由于全流场中从粘性区向无粘区的过渡是逐渐进行的，不存在一个非此即彼的明确界限，因此边界层的边缘并不非常清晰。为了实际应用的方便，边界层厚度有着如下几种较为严格的定义。

即边界层的位移厚度?1，边界层的动量损失厚度?2，以及边界层的能量损失厚度?3，上节中提及的边界层厚度?即为边界层与外部势流的边界，亦称为名义厚度。

一、边界层的位移厚度?1

由于壁面摩擦的影响，与理想流体相比，边界层内实际流过的体积流量会有所减少。为了使基于理想流体理论计算得到的流量与粘性流的实际情况一致，需要把原来的固壁向外推一个距离?1，该距离被称为边界层的位移厚度。如图7-4所示，矩形OACE的面积与相当与减少流量的面积ODE应相等，对于不可压流动?ve?1?y???0??ve?vx?dy，即：

（7-26）

?1??y???0vx? ?1??v??dye??在实际问题中，往往应该考虑边界层的存在对外部势流场的影响。例如溢流坝面流动中，下泄流量不变，但随着边界层发展，必然迫使自由水面抬高一个位移厚度。又例如，对于低速风洞的试验段，不能设计成一个平直段，通常有一个约0.5的扩散角，以补偿边界层增厚的影响。

o 8

式（7-26）的积分上限为无穷，在实际计算中，通常取为边界层名义厚度?。在定常流中，边界层内的vx总是小于ve且两者方向保持一致，则可直接推出定常层流边界层的位移厚度总小于边界层厚度。

图7-4 边界层位移厚度

二、边界层的动量损失厚度?2

边界层厚度的另一种定义是基于考虑边界层存在所导致的无粘流中流体动量的损失。在

?边界层中通过的动量为

?02?vxdy，如果这些质量的流体具有的动量为

???vxvedy，则二者之差

0相当在无粘流中将固体壁面向流动内部移动一个

?2距离，即

Df?2?ve?2?2??ve0?vxve?vx?，所以有： ??1?v??dye????2??通常将?2称为动量损失厚度或简称动量厚度。

vxv0e?vx??1?ve????dy ? (7-27)

三、动能损失厚度?3

与动量损失类似，边界层由于粘性阻滞而造成的动能流通量损失为：

?0?2?2?vevx?dy。这一动能通量损失，如果用物体表面的一层无粘性流体流动的动能通?vx???22???3?ve量来表示，并设这一流层的厚度为?3，则：

29

?3???02?2?vev?vx??x?dy

?22???

v?3??xv0e??vx2??1??dy

2??ve?? （7-28）

上式就是动能损失厚度?3的定义。从理论上说，粘性的影响可以由壁面一直延伸至无穷远处。本节在动量厚度和能量厚度的表达式中，已将积分上限由?换成?；前者基于渐近边界层概念，后者基于有限边界层概念。

第五节 边界层动量积分关系式

边界层微分方程的求解通常可分为近似解和相似解（精确解）。在工程计算中，求解边界层问题可以使用各种近似解法，以期较为迅速地得到具有一定精度的计算结果。这种方法是针对边界层微分方程积分后得到的动量方程进行求解的，故本节先介绍卡门动量积分关系式，下节将介绍它在平板问题中的运用。

首先推导动量积分关系式，从二维层流边界层的微分方程出发，即：

?vx?vy??0 ?x?y （7-29a）

?vx?v?v?vdv1?? ?vxx?vyx?e?vee??t?x?y?tdx??y式中

（7-29b）

????vx。以ve乘以式（7-29a）两边，考虑到ve?ve?x,t?，得到： ?y?vevx?vevy?v??vxe ?x?y?x （7-30a）

vx乘以式（7-29a）再加上式（7-29b）而得到：

?vx??vxvx??vxvy?v?v1?? ???e?vee??t?x?y?t?x??y?? （ …… 此处隐藏：1709字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……