07 粘性流体动力学基础 - 图文(3)

y?0：vx?0，vy?0，???w

（7-31b）

y??：vx?ve，??0

利用边界条件式（7-31b）对式(7-31a)沿边界层厚度方向积分；由于式（7-31a）左边第4项积分后自动为零，故得到：

?ve????????v?vdy?vv?vdy?exxex?t?0?x?0?xw??v?vdy?ex?0???

根据边界层位移厚度和动量损失厚度定义式, 上式可以写成：

?wCf??21?1?ve ?ve?1?????1?2?2???2?2?xve?x2?veve?t令 H? （7-32）

?1 为边界层的形状因子，对于层流边界层其变化范围大约为H?2.0~3.5，对于?2湍流边界层其变化范围大约为H?1.3~2.5。可以得出定常不可压层流边界层的积分关系式：

Cfd?2?dv ??2?H?2e?dxvedx2该式即为卡门动量积分关系。

（7-33）

在动量积分关系中，未知量是壁面摩擦系数Cf、动量厚度?2和形状参数H(或位移厚

度?1)，它们都可由速度分布vx确定。作为近似解，如果能给出一个恰当的取决于单参数的速度分布vx，边界层问题便归结为求解单参数的卡门动量积分关系。以下平板边界层的例子来说明卡门动量积分关系的应用。

第六节 平板层流边界层的计算

对于平板边界层问题，由于外流速度是个常数，卡门动量积分关系式简化成

dvedp?0，即ve?U?。同时有e?0，dxdx?d?2?w2 dx?ve (7-34)

11

2d(?ve?2)??wdx表明壁面阻力所做的功等于边界层动量损失的增量。动量积分法求解，需

要先假设一个满足边界条件的速度分布，但并不要求与边界层内每点的流速都符合。设

vxy?f???，其中??，边界条件（7-31b）需要作进一步的分析。为了使近似的速度分布

?ve与实际情况相近，速度在物面和边界层外缘必须满足边界条件

vxy?0?vyy?0?0，

vxy???ve

为使边界层外缘的速度过渡平滑，速度的一阶导数满足边界条件（零切应力）

?vx?y速度二阶导数满足的边界条件是

?0

y???2vx?y2y?0dve?2vx1dp， ??ve??dx?vdx?y21?0

y??其中上面左式由边界层方程式（7-24）使用壁面边界条件得到的，反映了壁面速度剖面曲率和压力梯度间的关系，称为“壁面第一兼容条件”；右式代表边界层外缘速度的过渡平滑。速度的三阶导数满足

?3vx?y3y?0?3vx?0，

?y3?0

y??其中第一式由边界层方程对y求导后在物面取值得到，第二式仍代表边界层外缘速度的过渡平滑。对平板边界层即有：f?0??f''?0??f\'?0??0，f?1??1和f'?1??f\?1??f\'?1??0。

如果必要可以使用速度更高阶导数的边界条件。

假定了速度分布

vx?f???后，可分别计算 ve

?2???f?1?f?dy?a2?

01 （7-35）

?ve'??vx???w????f?0? ??y????y?0其中?2? （7-36）

?0f?1?f?d?

12

1式(7-34)可写为：

d??f'?0? ??dx?2ve （7-37）

可以认为平板边界层是从前缘开始的，当x?0时??0，积分上式得：

??x??由上式可以得到边界层的各种参数，例如： 壁面摩擦阻力系数：

2f'?0??x

?2ve （7-38）

Cf?2?2f'?0?

平均壁面摩擦阻力系数：

?vex （7-39）

CDf?

动量损失厚度：

1l?' ??Cdx?22?f0f2?0lvel （7-40）

?2?2?2f'?0??xve （7-41）

位移厚度：

?1??12f'?0??x

?2ve （7-42）

其中?1??0?1?f?d?

1根据上述分析，只要选定f???的具体函数形式问题即可解决。通常f???取做多项式、三角函数或双曲函数等。例如：选用三次多项式：

f?a0?a1??a2?2?a3?3

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根据四个边界条件：f?0??0，f\?0??0，f?1??1，f\?1??0，决定四个待定系数：

13a0?0，a2?0，a3??，a1?

22313速度分布剖面的近似函数为：f????

22可以得到边界层的各参数表达式如下：

?2?0.646?xve

?1?1.740?xve

Cf?0.646?vex

CDf?1.292

?veL

表7-1所列为选用各种函数的计算结果比较。最简单的情况是线性分布f?????,边界条件自动满足，由于没有待定常数，关于速度导数的边界条件不必考虑。读者可进一步用其它形式的函数进行计算，并将它们与Bulasius的精确解（相似解）进行比较。

表7-1 平板边界层近似解

速度剖面 vx?f??? vef????? ?1 ?2 1 62 1539 2804?? 2?f?0??1've?x ?2 ve?x?w?ve2 vex?CDfveL? 1 21 33 8??2 ?1 2 1.732 1.825 1.740 1.741 1.721 0.577 0.730 0.646 0.655 0.664 0.289 0.365 0.323 0.327 0.332 1.155 1.460 1.292 1.310 1.328 f????2???2 31f???????3 223 2???f????sin??? ?2?Blasius解

? 2 14

第七节 平板湍流边界层

实验证明，当雷诺数ReL?veL/?较小时，平板上的边界层流动可能全部都是层流边界层。当ReL足够大时，就可能同时存在三种流态：在靠近平板的前缘一段是层流，在后缘一段是湍流边界层，在此两段之间是过渡段。

通常边界层的概念出现在大雷诺数的流动中，但是大雷诺数是指外流而言的。在边界层内的流动，特征尺度是边界层的厚度?，当地雷诺数应表示成Re??ve?/?。由于边界层的厚度远小于全流场的特征尺度，其中的扰动并不能马上发展起来。若在平板前缘施加一个随机的小扰动，当雷诺数Re?小于某一临界值时，随机脉动在向下游的过程中会很快消失，边界层保持稳定的层流状态。当Re?一旦达到某一临界雷诺数的值（根据稳定性理论来分析），便进入向湍流转捩的过渡区域。在向下游继续发展的过程中，最后将使边界层迅速进入完全的湍流状态。概括起来，湍流边界层的有如下的分层结构：

?????粘性底层（0?y?5）v*??????? 内层 ?过渡层（5v?y?30v）**?????湍流边界层 ? ?对数律层（30v?y?0.28?）*?????尾迹律层（0.28??y?0.48?）???外层???粘性顶层（0.48??y??）??其中

v???w ? (7-43)

具有速度的量纲，与壁面切应力有关，称为摩擦力速度（或剪切流速）。

湍流边界层的速度分布可使用Prandtl混合长度理论来分析。考虑无限长平板在自身平面内运动引起的二维定常平行剪切流，湍流的平均速度只有沿x轴方向的一个分量，且只与坐标y有关，这时可得到

dv?dvx?x??l2??dydy?? ????w

?2 (7-44)

考虑到湍流的大雷诺数特性，在壁面之外的大部分区域内,粘性力项与雷诺应力项比较是个高阶小量，上式可进一步近似为?l2?dvx/dy?2??w,这表明

dvx1?wv??? dyl?l以混合长度的表达式l?ky代入上式，其中k?0.417，积分后得到

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(7-45)