高等数学（上册）第三章教案(4)

?例8 求

??2020exsinxdx.

???20x解

?esinxdx?x?20sinxd(e?)esinx??0xx2eco xsdx??20??x0?x?e2??2cosxd(e)?e2?ecosx?2??2exsinxdx

0?0?e?1??2exsinxdx,

?故有 例9 求

?201esinxdx?(e2?1).

2x???0exdx.

解 先用换元法．令t?x,则x?t2，dx?2tdt

?x0?e再用分部积分法计算：

dx?2?tetdt.

0??因此 例10 设

解

?0tetdt??td(et)?tet0?0?10??etdt?e?et0?10?1．

??0exdx?2?tetdt?2?1?2．

bbaaf(x)在[a,b]上可导，且f(a)?f(b)?0，?f2(x)dx?1,试求?xf(x)f?(x)dx．

?baxf(x)f?(x)dx??xf(x)df(x)?ab1b2xdf(x) ?a211?0??1??．

22121b2b?xf(x)a??f(x)dx22a课后作业及小结：

1、学习了定积分的分部积分法与换元法的概念 2、熟练运用积分方法 作业：P193.1,3

第七节：定积分的几何应用与物理应用

1、平面图形的面积——直角坐标系下平面图形的面积 （1）当

f(x)?0时，由曲线y?f(x)，直线x?a,x?b及x轴所围成的曲边梯形。

b 面积为： （2）若

A??f(x)dx

abbf(x)?g(x)，由曲线y1?f(x),y2?g(x)，直线x?a,x?b所围成的图形

A??[f(x)?g(x)]dx??(y1?y2)dx

aadd 面积为： （3）若?(y)??(y)，由曲线x1??(y),x2??(y)，直线y?c,y?d所围成的图形 A??[?(y)??(y)]dy??(x1?x2)dy

cc 面积为：

求平面图形面积的步骤：

（1）根据问题的要求，作出简单的图形，选取合适的变量（x或

bby）作为积分变量，并确定其变化范围[a,b]（或[c,d]）。

（2）写出积分表达式： 例1 求曲线

A??(y1?y2)dx??[f(x)?g(x)]dx，然后进行计算。

aay?x2与y2?x所围成图形的面积。

解：解方程组

?y?x2 得两条曲线的交点为 (0,0)和(1,1)，选取x为积分变量，其变化区间为[0,1]，则面积为 ?2?y?x?321?12A??(y1?y2)dx??(x?x)dx??x3?x3??

3?0300?2111若取

y为积分变量，其变化区间也是[0,1]，且有

11A??(x1?x2)dy??(y?y2)dy?001

3例2 求抛物线

y2?2x与直线y?x?4所围成图形的面积。

?y2?2x 解： 解方程组?得交点(2,?2)和(8,4)，取y为积分变量，其变化区间为[?2,4]，则

?y?x?4?y2y2y3?A??(x1?x2)dy??(y?4?)dy???4y???18

26??2?2?2?2 若取x为积分变量，其变化区间为[0,8]，在[0,2]上有

22444A1??(y1?y2)dx??[2x?(?2x)]dx

00在[2,8]上有

88A2??(y1?y2)dx??[2x?(x?4)]dx

22A?A1?A2?18.由此可见，积分变量取得好，计算则简单，反之较麻烦。

3例3 求曲线y?x与直线y?x所围成图形的面积。

所求面积为： 解：解方程

0?y?x3，得交点(?1,1)，(0,0)，(1,1)，取x为积分变量 ??y?x1014224????xxxx111 33则 A?(x?x)dx?(x?x)dx?????????????4224442???1??0?102、空间立体的体积

（1） 旋转体的体积

旋转体——平面图形绕平面上一条直线旋转一周而成的立体（如：球、圆柱、圆锥等），直线为旋转轴。 旋转轴为x轴的旋转体体积：若平面图形由曲线体积为：

y?f(x)，直线x?a,x?b(a?b)及x轴围成。则所求旋转体

V???ydx???[f(x)]2dx

2aabby?x2与直线x?1及x轴所围成图形绕x轴旋转一周后的旋转体体积。 解： 抛物线与x轴和直线x?1的交点分别为(0,0)和(1,1)

例4 求由抛物线

112?V???ydx???(x2)2dx?00?5x5|10??

5 类似地，由曲线x??(y)，直线y?c,y?d及y轴所围成图形绕y轴旋转一周后的旋转体体积为

d2dV???xdy???[?(y)]2dy

cc例5 求由抛物线

1y?x2与直线y?1及y轴所围成图形绕y轴旋转一周后的立体体积。

1 解：V??xdy??ydy??y2|1??

0?02?0223、曲线弧长（不讲） 课后作业及小结：

1、掌握平面图形的面积公式与空间立体的体积公式 作业：P209.1,4

第八节：反常积分

1、无限区间上的反常积分 定义1 设函数

f(x)在无穷区间[a,??)连续，取b?a的正数，如果极限

b???alim?f(x)dx

??ab存在，则称此极限为

f(x)在区间[a,??)上的无穷积分，记为?f(x)dx，即

ba 这时，也称无穷积分

???af(x)dx?lim?f(x)dx,

b???b???af(x)dx存在或收敛；若极限lim?f(x)dx不存在，则称上无穷积分?b???a??af(x)dx不存在或

发散.类似地，设函数

f(x)在区间(??,b]上连续，那么我们可以定义

?如果上式中的极限存在，则称无穷积分定义2 设函数

b??f(x)dx?lim?f(x)dx.

u???ub?b??f(x)dx存在或收敛，如果不存在，则称无穷积分?b??f(x)dx不存在或发散.

f(x)在无穷区间(??,??)连续，其无穷积分定义为

?其中

????f(x)dx??c??f(x)dx????????cf(x)dx

c??c为任意常数，当上式右端两个积分都收敛时，称无穷积分?f(x)dx是收敛的；而若?f(x)dx和

???cf(x)dx至少有一个发散，则称无穷积分?????f(x)dx是发散的.

f(x)?0，且

注: 与定积分的情况类似，我们也可以考虑无穷积分的几何意义：若对一切x?[a,??]，有敛，则

???af(x)dx收

???af(x)dx表示的就是由曲线y?f(x)，直线x?a和x轴围成

的无穷区域的面积，例1 求解

???af(x)dx发散，则该无穷区域没有有限面积．

???0xe?xdx.

2???0xe?x2dx?lim?xeb???0b?x2b221b?x2?2111dx?lim??edx(?)?lim(e?x)??lim(e?b?1)?.

0b???202b???2b???21???1?x2dx. ??0??1110????dx?dx?dx解 ? ?arctanx?arctanx???????1?x2?01?x2??1?x2??022??1dx，当p取何值时收敛，取何值时发散. 例3 讨论广义积分?p1x??例2 求

.

??1??1解 当p?1时，有dx?dx?ln|x|???; ?1xp?1x1??111?p??11?p 当p?1时，有dx?x?lim(b?1). ?1xp1?pb???11?p?????,p?111?1?p从而 . dx?lim(b?1))??1?1xp1?pb???,p?1?p?1???1??1dxdx发散. p?1p?1综上所述，当时，广义积分?收敛，当时，广义积分?pp11xx??注 有时为了书写简便，也可以省去极限符号，广义积分的计算可以简化为

???af(x)dx?F(x)

?b?????F(??)?F(a), abf(x)dx?F(x)?F(b)?F(??),

???????其中F(??)例4 求解

x???f(x)dx?F(??)?F(??),

x????limF(x)，F(??)?limF(x).

???0e?axdx (a?0)

???0e?axdx??

1???ax1?axed(ax)??e?0aa111??(limax?1)?

ax???ea??01??(lime?ax?e0)

ax???2、无界函数的反常积分（瑕积分） 定义4 如果

f(x)在某一点x0满足

limf(x)?? 或 limfx(?)?,

??x?x0x?x0则称x?x0为f(x)的瑕点.

定义5 设函数

f(x)在区间[a,b)上连续，b为f(x)在区间[a,b)上的瑕点，设??0，若极限lim????0bbaab??af(x)dx存

在，则称此极限值为函数

f(x)在区间[a,b)上的瑕积分，记为?f(x)dx，并称瑕积分?f(x)dx收敛，即

?若极限

??0baf(x)dx?lim????0bab??af(x)dx.

lim??b??af(x)dx不存在 …… 此处隐藏：3037字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……