高等数学（上册）第三章教案(2)

xa2?x22 ?x?asint， 则 t?arcsin，cost?1?sint?aaa2xxarcsin??a2?x2?c ? 原式?2a21 例 求 ?dx(a?0)

22x?a22 解： 利用 1?tant?sect

????2 令x?atant???t?? 则 dx?asectdt

2??211asec2tsec2t?x2?a2dx?a?tan2t?1dt??sectdt??sectdt?ln|sect?tant|?c1

?x?atant ，则 sect?1?tan2t

xa2?x2x?x?? 原式?ln1?????c1?ln??c1?ln|a2?x2?x|?caaa?a? 例 求

2(c?c1?lna)

dx?3x6?x

?1 t 解：被积函数分母变量次数较高时，可使用倒代换，令xx?1t1213x5?1dxt411155t?3x6?x??31dt???3?t5dt?5?3?t5d3?t?5ln|3?t|?c?5lnx5?c

?6tt???补充公式：（P158）

?tanxdx??ln|cosx|?c （17） ?cotxdx?ln|sinx|?c

（18） ?secxdx?ln|secx?tanx|?c （19） ?cscxdx?ln|cscx?cotx|?c

（16）

dx1xdx1x?a?arctan?c （21） ?ln?a2?x2a?x2?a22ax?a?c

a1x1（22） ?dx?arcsin?c （23） ?dx?ln(x?x2?a2)?c

aa2?x2x2?a21（24） ?dx?ln(x?x2?a2)?c

x2?a2 （20）

例 求下列积分（学生先做） （1）

?1?x1x3dx dxdx ； （2）? ； （3）2?222x?19?x9?xxxcosxdxe，??cosxdx3、分部积分法

前面学习的换元积分法虽然解决了许多积分的计算问题，但有些积分，如：设

，

?lnxdx等，用换元积分法是无法计算的。现由两个函数乘积的微分法则，推出求积分的另一种方法：分部积分法。

u?u(x)，v?v(x)具有连续导数，由乘积的微分法则d(u?v)?v?du?u?dv 有 u?dv?d(u?v)?v?du，

?u?dv?u?v??v?du 上式称为分部积分公式。其作用是若求?u?dv比较困难，而求?v?du比较容易时，

可用公式化难为易，上式还可以写为?u?v?dx?u?v??v?du 例 求 ?xcosxdx

两边积分得 解：设

u?x ，dv?cosxdx?dsinx 则

?xcosxdx??x?dsinx?xsinx??sinxdx?xsinx?cosx?c

x2x21?cosx??x2sinxdx 但如果取 ，则?xcosxdx??cosxd222上式右边的积分比原积分更复杂，更难求解。因此，在使用分部积分法时，恰当的选取u和dv是一个关键，一般考虑下列

两点：

（1） （2）

x2u?cosx，dv?xdx?d2v要容易求得；

?v?du要比?u?dv容易计算。

n 一般地，下列类型的被积函数考虑用分部积分公式：xsinmx,xncosmx,enxsinmx,enxcosmx,xnemxxnlnx,xnarcsinmx,xnarccosmx,xnarctanmx 等等。

，

例 求

?xexdx

解： 设

u?x，dv?exdx?dex 则

?xe?x2xdx??xdex?xex??exdx?xex?ex?c

2xx?edx

例 求 解

exdx??x2dex?x2ex?2?xexdx?x2ex?2?xdex?x2ex?2xex?2?exdx?ex(x2?2x?2)?c

注：若被积函数是幂函数（指数为正整数）与指数函数或正（余）弦函数的乘积时，可设幂函数为u。

3例 求 ?xlnxdx

x4x4x41?14?3?lnx???dx 解： 令 u?lnx，dv?xdx?d?x??xlnxdx??lnxd444x?4?x41?lnx?x4?c

416xdx 例 求 ?x?arctan3注：若被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积，可设对数函数或反三角函数为u。 例 求

x2 解： 令 u?arctanx,dv?xdx?d

2x2x2x21x?arctanxdx?arctanxd?arctanx?????21?x2dx

22x211x21?1??arctanx?x?arctanx?c ?arctanx???1?dx?222222?1?x??arcsinxdx

u?arcsinx,dv?dx

11?x2dx?xarcsinx? 解： 设

?arcsinxdx?xarcsinx??x?例 求 解： 例 求 解

112d(1?x)?xarcsinx?1?x2?c ?21?x2?lnxdx

1lnxdx?xlnx?x???xdx?xlnx?x?c x?esinxdx

：

xxxxxxxxxesinxdx?sinxde?esinx?ecosxdx?esinx?cosxde?esinx?ecosx?e?????sinxdx

移项得

2?exsinxdx?ex(sinx?cosx)?c0

1c0) 2注： 若被积函数是指数函数与正（余）弦函数的乘积时，此时u,dv 可随意取，但两次分部积分中，u必须是同类型。

即

xe?sinxdx?1xe(sinx?cosx)?c2(c?例 求

?x?ln22xdx

2x2x211??ln2x??x2?2lnx?dx 解： ?x?lnxdx??lnxd222x

x2xx2x2121x2x222??lnx??lnxd??lnx?lnx??x?dx?lnx?(lnx?1)??c

22222x24例 求 ?sinxdx

解： 令

x?t,x?t2,dx?2tdt

?sinxdx?2?tsintdt??2?tdcost??2tcost?2?costdt

??2tcost?2sint?c??2xcosx?2sinx?c

课后作业及小结：

1、学习了第一换元法、第二换元法与分部积分法 2、熟练运用3种运算方法。 作业：P162.2,3,4

第三节：有理函数的不定积分（略）

第四节：定积分的概念与性质

1、实例分析

在初等数学里，我们学习了多边形及圆等特殊图形的面积，但在实际应用中，往往需要计算以曲线为边的图形的面积.任意曲线所围成的平面图形的面积的计算,依赖于曲边梯形面积的计算，所以我们先讨论曲边梯形面积的计算问题.

在直角坐标系中，由闭区间[a,b]上的一条连续曲线我们知道，当

y?f(x)(f(x)?0)，直线x?a,x?b及x轴所围成的平

面图形，称为曲边梯形，如图所示. 如何计算曲边梯形的面积S呢？

f(x)?c时，曲边梯形就是矩形，其面积可由公式 S?(b?a)?c

来计算.当f(x)不等于常数时，曲边梯形在底边上各点处的高f(x)在区间[a,b]上是变化的，故不能用初等数学的方法来计算面积.然而f(x)在区间[a,b]上是连续的，在很小一段区间上它的变化很小，近似于不变，基于这一认识，我们用平行于y轴的直线将曲边梯形分割成若干个小的曲边梯形，对于每个小曲边梯形，因其底边所在区间长度很小，所以其上的高近

似不变，因而它可近似地看作是底边相同，而高为底边上某一点的函数值所构成的这样一个小矩形.所有这些小矩形面积之和可作为曲边梯形面积的一个近似值.显然,分割越细密，近似程度就越高，从而，将曲边梯形无限细分，所有小矩形面积之和的极限值就是曲边梯形面积的精确值.根据上述思想，我们采用“分割—近似代替—求和—取极限”的过程来计算曲边梯形面积S. （1）分割：把以区间 在

?a,b?为底边的曲边梯形分成若干个小曲边梯形.

?a,b?内插入n?1个分点：

a?x0?x1?x2??xk?1?xk???xn?1?xn?b 把区间[a,b]任意分成n个小区间：

?x0,x1?，x1,x2，…，?xk?1,xk?，…，?xn?1,xn?

??

记第i个小区间[xi?1,xi]的长度为?xi?xi?xi?1（i?1,2,?n）,过各分点xi作平行于y轴的直线，于是原曲边梯形被分成n个以这些小区间为底边的小曲边梯

形.

(2) 近似代替：求小曲边梯形面积的近似值.

当第i个子区间[xi?1,xi]的长度?xi很小时，f意一点?i处的函数值

(x)在其上的变化也很小，因此可以把该子区间上任 图5-2

f(?i)（xi?1??i?xi）作为第i个小曲边梯形的近似高度，从而它的面积?si可用以f(?i)为高，

?si?f(?i)?xi(i?1,2,3?,n).

?xi为宽的矩形面积去近似替代，即

(3) 求和：求原曲边梯形面积的近似值.

把这n个小曲边梯形面积的近似值加起来，即得曲边梯形面积S的近似值Sn：

S?Sn?f(?1)?x1?f(?2)?x2???f(?n)?xn=?f(?i)?xi.

i?1n（4）取极限：求原曲边梯 …… 此处隐藏：4439字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……