高等数学（上册）第三章教案

第三章：一元函数积分学及其应用

教学目的与要求 1．理解不定积分和定积分的概念及性质。

2．掌握不定积分的基本公式，不定积分、定积分的换元法与分部积分法。 3．会求简单的有理函数的积分。

4．理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿（Newton）-莱布尼兹（Leibniz）公式。 5．了解广义积分的概念。

6．了解定积分的近似计算法（梯形法和抛物线法）。

7．掌握用定积分表达一些几何量与物理量（如面积、体积、弧长、功、引力等）的方法 所需学时：20学时（包括：18学时讲授与2学时习题）

第一节：不定积分的概念与性质

1、原函数概念

引例 在下列括号中填入适当的函数： （1）

cosx?(sinx?c)? （2） x2?(13x?c)? 3 上例中的问题是：已知F?(x)?f(x) 求 F(x)

定义1 若在区间I上，对任意x有F?(x)?f(x) 或 dF(x)?f(x)dx 则称F(x)是f(x)在I上的原函数。

xx例如：(cosx)???sinx，则cosx是?sinx的一个原函数；又(ex)??ex，则e是e的一个原函数。

原函数存在定理： 若f(x)是连续函数，则f(x)必有原函数。由(ex)??ex有(ex?2)??ex，(ex?c)??ex，因此

可知e的原函数不止一个，而是无穷多个。

xf(x)有一个原函数F(x)，则f(x)就有无穷多个原函数F(x)?c（c为任意常数），即F(x)?c是f(x)的全部原函数；（2）f(x)的任意两个原函数之差是一个常数。 设F?(x)?f(x)，??(x)?f(x)，则有??(x)?F(x)?????(x)?F?(x)?f(x)?f(x)?0由前面所学定理知 ?(x)?F(x)?c

说明：（1）若2、不定积分 定义2 在区间

I上，函数

f(x)的全体原函数的集合，称为

f(x)在

I上的不定积分，记为

?f(x)dx,其中“?”称为积分号，

f(x)称为被积函数 ，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量.

由不定积分的定义可知：求

f(x)的不定积分就是求f(x)的所有原函数.若F(x)为f(x)的一个原函数，则

?f(x)dx=F(x)?C.

其中C为任意常数，称之为积分常数.简言之，求已知函数的不定积分，就是求出它的一个原函数，再加上任意常数C即可. 例1 求下列不定积分.

（1）

2xxdxsinxdxe （2） （3）???dx

1311x)??x2，所以x3是x2的一个原函数，于是 ?x2dx?x3?C. 333（2）因为(?cosx)??sinx，所以?cosx是sinx的一个原函数，于是?sinxdx??cosx?C.

解 （1）因为(（3）因为(ex)??ex，所以ex是e的一个原函数，于是

xxxedx?e?C. ?y)处切线斜率为x2，并且曲线过点(0,1)，求曲线方程。

解： 设曲线方程为y?f(x)，由导数的几何意义和题意知

?11??y??f?(x)?x2，则有 y??x2dx；??x3??x2，?y?x3?c

3?3?13又因为 y|x?0?1，代入上式得 c?1，所以曲线方程为y?x?1

3例2 已知某曲线上任意点(x,3、基本积分公式

根据不定积分的定义，由导数或微分的基本公式可得下列基本积分公式（式中C为任意常数）.对比导数公式，是记忆积分公式的基础. 导数公式 积分公式 导数公式 积分公式 (kx)??k ?kdx?kx?C u?1(tanx)??sec2x 2sec?xdx?tanx?C (x)??uxu (lnx)??1 x(ax)??axlna (ex)??ex (sinx)??cosx (cosx)???sinx xu?1 (cotx)???csc2x （u??1）?xdx?u?1?C1(secx)??secx?tanx ?xdx?ln|x|?C axx?adx?lna?C(a?0,a?1) (cscx)???cscx?cotx 1xx??(arcsinx) edx?e?C?21?x1 ?cosxdx?sinx?C (arctanx)??21?xu?csc2xdx??cotx?C ?secx?tanxdx?secx?C ?cscx?cotxdx??cscx?C dx2?1?xdx?1?x2?arctanx?C ?arcsinx?C ?sinxdx??cosx?C 以上基本积分公式组成基本积分表，许多不定积分最终要应用这些基本积分公式，请读者务必牢记.利用不定积分的性质和基本积分公式，直接求出不定积分的方法，称为直接积分法. 4、不定积分性质 性质1 由于 ①

?f(x)dx是f(x)的原函数，则有

??f(x)，F(x)是f(x)的原函数，则有

又由于F?(x) ②

??f(x)dx??f(x) 或 d?f(x)dx?f(x)dx

?F?(x)dx?F(x)?c 或 ?dF(x)?F(x)?c

性质2 ?[?f(x)??g(x)]dx???f(x)dx???g(x)dx； 例3 求 ?x?(x?2x?3)dx

33411474?10?369333363x?x?x?c 解： 原式???x?2x?3x?dx???1474??(x?1)3dx 例4 求 ?2x121x3?3x2?3x?131???x?3x?3ln|x|??c 解：原式??dx?x?3??dx??22?2xxx?x?1?x?x2dx 例5 求 ?x?x31?x2?x1??1 解： 原式?dx??dx?ln|x|?arctanx?c 2??x(1?x2)???x1?x?x4dx 例6 求 ?1?x213x4?1?11??2?x?x?arctanx?c 解： 原式??dx?x?1?dx??22?31?x1?x??2xdx 例7 求 ?sin211 解： 原式??(1?cosx)dx?(x?sinx)?c

221例8 求：

?2x2xdx sincos22 解： 原式?4?11dx?4?2dx?4?csc2xdx??4cotx?c

xxsinx4sin2cos2221?x2?x4dx

11?x2?x21??1???arctanx?c 解： 原式?dx??dx???x2(1?x2)??x21?x2?x例9 求

课后作业及小结：

1、学习了不定积分相关概念

2、掌握基本不定积分公式及其计算方法。 作业：P148.2,7

第二节：不定积分的换元法与分部法

1、引入 求

分析 这个不定积分在积分表中直接查不出来，因为它的被积函数cos2x是以2x为变量的复合函数，与积分变量x不

xdx改变一下，使得被积函数的变量与积分变量变得相同，那么就可以公式同.但如果把积分表达式cos2?cos2xdx.

?cosudu?令u?2xsinu?C求出此不定积分了，其中u是x的函数.

111dx?d(2x)cos2xdx=cos2x?d(2x)?cos2xd(2x) 解：因为，所以???222u回代111?????cosudu?sinu?C????sin2x?C

222将上述方法推而广之，若能选择适当的变换u大大增加.

定理1 （第一类换元积分法） 设连续函数

??(x)，使代换后的积分关于积分变量u易于求出，则可求出的积分将

f(u)的原函数F(u)，u??(x)具有连续导数，则有换元积分公式

令u??(x)?f[?(x)]??(x)dx?????f[?(x)]d?(x)?????f(u)du

u回代凑微分?F(u)?C????F[?(x)]?C.

证明 只需要证明等式右边的导数是f[?(x)]??(x)即可.

{F[?(x)]?C}??{F[?(x)]}?=F?(u)??(x)?f(u)??(x)?f[?(x)]??(x).

用这种方法的计算步骤是先“凑”微分式，再作变量替换，因此我们将这类求不定积分的方法也称为凑微分法． 例 求

?(3x?2)5dx

解： 原式?例 求

1151615(3x?2)d(3x?2)3x?2?uudu?u?cu?3x?2(3x?2)6?c ??3318181?2x?3dx

111111d(2x?3)2x?3?u?du?ln|u|?cu?2x?3ln|2x?3|?c 解： 原式??22x?32u22 例 求

?x1?x2dx xdx?121dx?d(1?x2) 223 解： ?1111? 原式??1?x2d(1?x2)1?x2?u?udu?u2?cu?1?x21?x22233lnxdx 例 求 ?x??32?c

解： ?1dx?dlnx x? 原式??lnxdlnxlnx?u?udu?121u??cu?lnx(lnx)2?c 22 用第一换元积分法解题时，关键是把被积表达式f(x)dx凑成两部分：其一为d?(x)f(x)dx?g[?(x)]?d?(x)因此此法又称为凑微分法。下面给出一些常用的凑微分式子：

11212 ① dx?d(ax?b) ② xdx?dx?d(x?c)

a2211dx?dln|x|?d(ln|x|?c) ④ ③ dx?2dx?2d(x?c) xx111dx?darctanx ⑤ 2dx??d ⑥ 2xx1?x1 ⑦ dx?darcsinx ⑧ exdx?d(ex?c)

1?x2 ⑨

；其二 …… 此处隐藏：3663字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……