2013年全国中考数学试卷分类汇编专题14：直角三角形与勾股定理(3)

（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外做等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD。请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）

（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外做正方形ABFD和正方形ACGE。连接BE，CD。BE与CD有什么数量关系？简单说明理由； （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=450，∠CAE=900，AB=BC=100米，AC=AE。求BE的长。 【思路分析】（1）根据题目要求进行尺规作图，并加以证明其它结论；（2）用三角形全等分析BE与CD相等关系；（3）构件建几何模型解（添加辅助线、运用勾股定理）决实际问题. 【解】（1）完成作图，字母标注正确。

证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形。 ∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=600。 ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC 即∠CAD=∠EAB ∴△CAD≌△EAB ∴BE=CD （2）BE=CD 理由同（1）：

∵四边形ABFD和ACGE均为正方形， ∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD=∠CAE=900 ∴∠CAD=∠EAB ∴△CAD≌△EAB ∴BE=CD （3）由（1）（2）的解题经验可知，过A作等腰直角三角形ABD，∠BAD =900，则AD＝AB＝1000，∠ABD＝450，

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∴BD＝1002

连接CD，则由（2）可得BE＝CD。 ∵∠ABC＝450， ∴∠DBC＝900，

在Rt△DBC中，BC＝100，BD＝100错误！未找到引用源。 ∴CD＝错误！未找到引用源。＝100错误！未找到引用源。 ∴BE的长为1003米

【方法指导】本题考查了与等边三角形、正方形的全等应用实践操作、探究题.图形与几何的实践、探究题，是新中考比较热点的命题方向. 2．（2013四川凉山州，24，8分）小亮和小红在公园放风筝，不小心让风筝挂在树梢上，风筝固定在错误！未找到引用源。处（如图），为测量此时风筝的高度，他俩按如下步骤操作：

第一步：小亮在测点错误！未找到引用源。处用测角仪测得仰角?ACE??。

第二步：小红量得测点错误！未找到引用源。处到树底部错误！未找到引用源。的水

平距离错误！未找到引用源。。

第三步：量出测角仪的高度CD?b。

之后，他俩又将每个步骤都测量了三次，把三次测得的数据绘制成如下的条形统计图和折线统计图。

测量高度 单位（米） 20 15.71 15.83 a的长 b的长

15.89 15 10 5 O 1.31 1.33 1.32 第一次 第二次 第三次 测量次数）

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仰角 29.5° 30.8° 29.7° O 第一次 第二次 第三次

测量次数

请你根据两个统计图提供的信息解答下列问题。 （1）把统计图中的相关数据填入相应的表格中： 第一次 第二次 第三次 平均值 错误！未找到引用源。 b 错误！未找到引用源。 （2）根据表中得到的样本平均值计算出风筝的高度错误！未找到引用源。（参考数

据：3?1.732，错误！未找到引用源。，结果保留3个有效数字）。 【思路分析】（1）要根据题中所给的条形统计图和折线统计图很容易完成下列表格； （2 ）利用解直角三角形的知识即可求出风筝的高度。 【解】（1） 来*~源中国教育出版网&%]

第一次 第二次 第三次 平均值

错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 ? 29．5° 30．8° 29．7° 30° 15．71 15．83 15．89 15．81 1．31 1．33 1．32 1．32 （2）由题意得：四边形BDCE为矩形，∴EC=BD=15。8，BE=CD=1。32，∠AEC=90°， 在Rt△AEC中, ∠AEC=90°,∠错误！未找到引用源。=30°, ∵错误！未找到引用源。.∴AE=EC错误！未找到引用源。. ∴AB=AE+BE=9.128+1.32≈10.4(m). ∴风筝的高度AB约为10.4 m. 【方法指导】本题考查统计图及解直角三角形.在解直角三角形时,如果有直角三角形

直接利用边角关系直接求出,如果没有直角三角形可以构造直角三角形再利用边角关系去解. 3．（2013四川南充，21，8分）如图，公路AB为东西走向，在点A北偏东36.5°方向上，距离5千米处是村庄M；在点A北偏东53.5°方向上，距离10千米处是村庄N（参考数据：sin36.5°=0.6，cos36.5°=0.8，tan36.5°=0.75）． （1）求M，N两村之间的距离；

（2）要在公路AB旁修建一个土特产收购站P，使得M，N两村到站P的距离之和最短，求这个最短距离．

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【答案】：解：（1）如图，过点M作CD∥AB，NE⊥AB．

在Rt△ACM中，∠CAM=36.5°，AM=5， ∴sin36.5°=错误！未找到引用源。=0.6， ∴CM=3，AC=4．

在Rt△ANE中，∠NAE=90°－53.5°=36.5°，AN=10，

∴sin36.5°=错误！未找到引用源。=0.6， ∴NE=6，AE=8．

在Rt△MND中，MD=5，ND=2，

∴MN=5?2?2229(km)．

（2）作点N关于AB的对称点G，连接MG交AB于点P． 点P即为站点．

∴PM+PN=PM+PG=MG．

在Rt△MDG中，MG=错误！未找到引用源。(km)． ∴最短距离为错误！未找到引用源。km． 【解析】（1）过点M作CD∥AB，NE⊥AB，在Rt△ACM中求出CM，AC，在Rt△ANE中求出NE，AE，继而得出MD，ND的长度，在Rt△MND中利用勾股定理可得出MN的长度． （2）作点N关于AB的对称点G，连接MG交AB于点P，点P即为站点，求出MG的长度即可．

【方法指导】本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数值求解相关线段的长度，难度较大． 4．（2013·鞍山，16，2分）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是 ．

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考点：三角形中位线定理；勾股定理．

分析：利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH＝FG＝AD，EF＝GH＝BC，然后代入数据进行计算即可得解． 解答：解：∵BD⊥CD，BD＝4，CD＝3， ∴BC＝

＝

＝5，

∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点， ∴EH＝FG＝AD，EF＝GH＝BC， ∴四边形EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC， 又∵AD＝6，∴四边形EFGH的周长＝6+5＝11．故答案为：11．

点评：本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．

5．（2013·泰安，23，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F＝30°，DE＝1，则BE的长是 ．

考点：含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．

分析：根据同角的余角相等、等腰△ABE的性质推知∠DBE＝30°，则在直角△DBE中由“30度角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度． 解答：解：∵∠ACB＝90°，FD⊥AB，∴∠∠ACB＝∠FDB＝90°， ∵∠F＝30°，∴∠A＝∠F＝30°（同角的余角相等）． 又AB的垂直平分线DE交AC于E，∴∠EBA＝∠A＝30°， ∴直角△DBE中，BE＝2DE＝2．

点评：本题考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形．解题的难点是推知∠EBA＝30°．

6.（2013四川巴中，19，3分）若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足

，则该直角三角形的斜边长为 5 ．

考点：勾 股定理；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根． 分析：根 据非负数 …… 此处隐藏：1774字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……