2013年全国中考数学试卷分类汇编专题14：直角三角形与勾股定理(2)

考点：勾 股定理． 专题：规 律型． 分析： 先根据勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3的长度找到规律进而求出OP2012首的长． 解答： 解：由勾股定理得：OP4==， ∵OP1=；得OP2=； 依此类推可得OPn=， ∴OP2012=， 故答案为：． 点评：本 题考查了勾股定理的运用，解题的关键是由已知数据找到规律． 8．（2013·潍坊，9，3分）一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近．同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行．20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（ ）

A．103海里/小时 B． 30海里/小时

C．错误！未找到引用源。海里/小时 D．错误！未找到引用源。海里/小时 答案：D

考点：方向角，直角三角形的判定和勾股定理．

点评;理解方向角的含义，证明出三角形ABC是直角三角形是解决本题的关键．

9. （2013?新疆5分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（ ）

2 A．B． 2.5或3.5 C． 3.5或4.5 D． 2或3.5或4.5 【答案】D．

【解析】∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm， ∴AB=2BC=4（cm），

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∵BC=2cm，D为BC的中点，动点E以1cm/s的速度从A点出发， ∴BD=BC=1（cm），BE=AB﹣AE=4﹣t（cm）， 若∠DBE=90°，

当A→B时，∵∠ABC=60°， ∴∠BDE=30°， ∴BE=BD=（cm）， ∴t=3.5，

当B→A时，t=4+0.5=4.5． 若∠EDB=90°时，

当A→B时，∵∠ABC=60°， ∴∠BED=30°， ∴BE=2BD=2（cm）， ∴t=4﹣2=2，

当B→A时，t=4+2=6（舍去）． 综上可得：t的值为2或3.5或4.5． 【方法指导】此题考查了含30°角的直角三角形的性质．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用

10. （2013?衢州）将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（ ）

3cm A．【答案】D． 【解析】过点C作CD⊥AD，∴CD=3， 在直角三角形ADC中， ∵∠CAD=30°， ∴AC=2CD=2×3=6，

又三角板是有45°角的三角板， ∴AB=AC=6，

22222

∴BC=AB+AC=6+6=72， ∴BC=6，

6cm B． C． cm D． cm

【方法指导】此题考查的知识点是含30°角的直角三角形及等腰直角三角形问题，关键是先由求得直角边，再由勾股定理求出最大边

11.（2013四川巴中，9，3分）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，

则菱形ABCD的周长是（ ）

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24 16 A．B． C． D． 4 2 考点： 菱形的性质；勾股定理． 分析： 由菱形ABCD的两条对角线相交于O，AC=6，BD=4，即可得AC⊥BD，求得OA与OB的长，然后利用勾股定理，求得AB的长，继而求得答案． 解答： 解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=4， ∴AC⊥BD，OA=AC=3，OB=BD=2，AB=BC=CD=AD， ∴在Rt△AOB中，AB==， ∴菱形的周长是：4AB=4． 故选C． 点评： 此题考查了菱形的性质与勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 12.如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（3，m），且OP与x轴正半轴的夹角?的正切值是，则错误！未找到引用源。的值是【 】

错误！未找到引用源。

A． 源。

43 B． C． D．55错误！未找到引用源。错误！未找到引用

13．（2013贵州省黔西南州，5，4分）一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长

为（ ）

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5 A．B． C． D． 5或 考点：勾 股定理． 专题：分 类讨论． 分析：本 题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行分析． 解答：解 ：（1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5， （2）当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为， 故选D． 点评：题 主要考查学生对勾股定理的运用，注意分情况进行分析． 14．（2013湖北省鄂州市，4，3分）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（ ）

165° 120° 150° 135° A．B． C． D． 考点：三 角形的外角性质． 分析：利 用直角三角形的性质求得∠2=60°；则由三角形外角的性质知∠2=∠1+45°=60°，所以易求∠1=15°；然后由邻补角的性质来求∠α的度数． 解答：解 ：如图，∵∠2=90°﹣30°=60°， ∴∠1=∠2﹣45°=15°， ∴∠α=180°﹣∠1=165°． 故选A． 点评：本 题考查了三角形的外角性质．解题时，注意利用题干中隐含的已知条件：∠1+α=180°． 15．（2013湖北省鄂州市，10，3分）如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（ ）

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68 10 A． B． C． D．1 2 考点：勾 股定理的应用；线段的性质：两点之间线段最短；平行线之间的距离． 分析：M N表示直线a与直线b之间的距离，是定值，只要满足AM+NB的值最小即可，作点A关于直线a的对称点A′，连接A′B交直线b与点N，过点N作NM⊥直线a，连接AM，则可判断四边形AA′NM是平行四边形，得出AM=A′N，由两点之间线段最短，可得此时AM+NB的值最小．过点B作BE⊥AA′，交AA′于点E，在Rt△ABE中求出BE，在Rt△A′BE中求出A′B即可得出AM+NB． 解答：解 ：作点A关于直线a的对称点A′，连接A′B交直线b与点N，过点N作NM⊥直线a，连接AM， ∵A到直线a的距离为2，a与b之间的距离为4， ∴AA′=MN=4， ∴四边形AA′NM是平行四边形， ∴AM+NB=A′N+NB=A′B， 过点B作BE⊥AA′，交AA′于点E， 易得AE=2+4+3=9，AB=2，A′E=2+3=5， 在Rt△AEB中，BE=在Rt△A′EB中，A′B=故选B． =， =8． 点评：本 题考查了勾股定理的应用、平行线之间的距离，解答本题的关键是找到点M、点N的位置，难度较大，注意掌握两点之间线段最短． 三、解答题 1．（2013山东德州,23,10分）

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