第4章 拉普拉斯变换连续时间系统的S域分析

第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析

第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域 分析主讲：卢亚玲

第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析

拉普拉斯变换的发展史(1)19世纪末，英国工程师赫维赛德(O.Heaviside, 1850-1925)发明“运算法”(算子法)解决电工程计

算中的一些基本问题。(2)后人在法国数学家拉普拉斯(P. S. Laplace, 1749-1825)著作中找到可靠数学依据，重新给予严密 的数学定义，为之取名为拉普拉斯变换，简称为拉氏 变换(LT)

第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 1749年3月23日~1827年3月5日，数学家、 天文学家 。是天体力学的主要奠基人、 天体演化学的创立者之一，他还是分析概率论 的创始人，因此可以说他是应用数学的先驱。 1780年，和拉瓦锡 ，证明了将一种化合物 分解为其组成元素所需的热量就等于这些 元素形成该化合物时所放出的热量。向 能量守恒定律迈进的又一个里程碑，60年 后这个定律终于瓜熟蒂落地诞生了。 1784~1785年，著名的拉普拉斯方程 描述天体对其外任一质点的 引力分量； 1796年他的著作《宇宙体系论》问世，书中提出了对后来 有重大影响的关于行星起源的星云假说

1814年拉普拉斯提出科学假设：假定如果有一个智能生物 (后人称为拉普拉斯妖)能确定从最大天体到最轻原子的运动的 现时状态，就能按照力学规律推算出整个宇宙的过去状态和未来状态。

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LT的重要地位(1)在电路理论研究中，拉普拉斯变换是强有力的工具; (2)在连续、线性、时不变系统分析中，拉氏变换是不 可缺少的工具; (3)线性时不变系统的时域模型是常系数线性微分方程， 拉氏变换能方便求解微分方程的解。

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本章重点1.拉氏变换定义 2.拉氏变换的性质 3.逆拉氏变换 4.拉氏变换在电路分析中的应用

5.系统函数6.线性系统稳定性判断

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第4章 连续时间信号和系统的复频域 表示与分析4.1 拉普拉斯变换 4.2 拉普拉斯变换的性质 4.3 拉普拉斯反变换 4.4 用LT分析电路、S域元件模型、系统函数

4.5 LTI连续系统的稳定性

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4.14.1.11. 因果信号的傅氏正、

F ( ) f (t )e j t dt 0 1 j t f (t ) F ( ) e d 2

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傅氏变换对于一些指数函数处理不方便, 主要原因 是这类函数不收敛, 例如阶跃函数u(t)。 为了使函数收 敛， 我们

在进行变换时让原函数 f(t) 乘以 e-σt , 使得 f(t)e-σt是一个收敛速度足够快的函数。 即有 f1(t)=f(t)e-σt

式中, e-σt为收敛(衰减)因子， 且f1(t)满足绝对可积条件。 则

F1 ( ) f (t )e e0

at j t

dt f (t )e0

( j ) t

dt F ( j )(4.1-1)

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令σ+jω=s, 式(4.1-1)可表示为 st

拉氏变换正变换

F ( s) f (t )e dt0

(4.1-2)

拉氏变换的逆变换 F1(ω)的傅氏逆反变换为

f1 (t ) f (t )e

t

1 2

F1 ( )e d (4.1-3)

j t

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式(4.1-3)两边同乘eσt, eσt不是ω的函数， 可放入积分号里， 由此得到

1 f (t ) 2

F1 ( )e

( j ) t

1 d 2

F ( j )e ( j )t d (4.1-4)

已知s=σ+jω, ds=d(σ+jω), σ为常量，

ds=j dω, 代入式(4.1-4)且积分上、 下限也做相应改变， 式(4.1-4)可写作 拉氏变换逆变换 定义式

1 f (t ) j 2

j j

F ( s)e st ds

(4.1-5)

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因为e-σt的作用， 式(4.1-2)与 (4.1-5)是适合指数阶函数的变换。 又由于式(4.1-2)中的f(t)是t<0时为零的 因果信号， 故称“单边”变换。 将两式重新表示在一

起， 单边拉氏变换定义为

F ( s) f (t )e st dt0

1 f (t ) j 2

j j

st F ( s)e ds

(4.1-6)

式中称s=σ+jω为复频率， F(s)为象函数， f(t)为原函数。

S的物理意义：σ描述了信号振荡幅度的增长速率或衰减速率； ω:描述振荡的重复频率

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象函数与原函数的关系还可以表示为

L{ f (t )} F ( s ) 1 L {F ( s )} f (t ) f (t ) F ( s )

(4.1-7)

s=σ+jω 可以用直角坐标的复平面( s 平面)表示， σ 是实 轴， jω是虚轴， 如图4.1-1所示。

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S平面

j

0

图 4.1-1 复平面

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注意：1)拉氏变换的基本信号元为est。

2)考虑到0时刻可能发生冲激，单边拉氏变换下限 为0-。今后，未加标注的t=0,均指t= 0- .

3)单边拉氏变换收敛区。虽然单边拉普拉斯变换存在条件比傅氏变换宽， 不需要信号满足绝对可积， 但 对具体函数也有变换是否存在及在什么范围内变换存在 的问题， 这些问题可由单边拉氏变换收敛区解决。

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2. 收敛区:使f(t)e-σt满足绝对可积的σ取值范围， 或是

使f(t)的单边拉氏变换存在的σ取值范围。由式 (4.1-3) 的推导可见， 因为 e-σt 的作用， 使得 f(t)e-σt在一定条件下收敛， 即有

lim f (t )e t 0t

当 0

(4.1-8)

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lim f (t )e t 0t

( 0 )

(4.1-8)

式中, σ0叫做收敛坐标， 是实轴上的一个点。 穿过σ0并与虚轴jω平行的直线叫做收敛边界。 收敛轴的 右边为收敛区， 收敛区不包括收敛轴。 一旦σ0确定，

f(t)的拉氏变换的收敛区就确定了。满足式(4.1-8)的函数， 称为指数阶函数。 这类函 数若发散， 借助指数函数的衰减可以被压下去。 指数 阶函数的单边拉氏变换一定存在， 其收敛区由收敛坐 标σ0确定。 σ0的取值与f(t)有关， 具体数值由式(4.1-8) 计算。