数学必修四课件：1.1.1《任意角的概念》课件(新人教A版必修4)

1.1.1 任意角的概念

1、角的概念初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几 何图形. 这种概念的优点是形象、直观、容易理

解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是[0º , 360º ),

这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”.

生活中很多实例会不在该范围。 体操运动员转体720º ,跳水运动员向内、 向外转体1080º ; 经过1小时，时针、分针、秒针各转了多 少度？ 这些例子不仅不在范围[0º , 360º ) ,而且 方向不同，有必要将角的概念推广到任意角， 想想用什么办法才能推广到任意角？ 关键是用运动的观点来看待角的变化。

2.角的概念的推广⑴“旋转”形成角 一条射线由原来的位置OA, 绕着它的端点O按逆时针方向 旋转到另一位置OB,就形成角B α. 旋转开始时的射线OA叫做 角α的始边，旋转终止的射线 OB叫做角α的终边，射线的端 点O叫做角α的顶点.

O

A

⑵.“正角”与“负角”、“0º 角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做 正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做 负角，如图，以OA为始边的角α=210°,β= -150°,γ=660°,21006600

-1500

特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角

叫做零度角(0º ).角的记法：角α或可以简记成∠α.

⑶角的概念扩展的意义： 用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大 了 ① 角有正负之分; 如： =210 , = 150 , =660 . ② 角可以任意大; 实例：体操动作：旋转2周(360 ×2=720 ) 3周(360 ×3=1080 ) ③ 还有零角, 一条射线，没有旋转.

角的概念推广以后，它包括任意大小的正

角、负角和零角.要注意，正角和负角是表示具有相反意义 的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象 与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好

象数零无正负一样.

用旋转来描述角，需要注意三个要素(旋转中心、旋转方向和旋转量) (1)旋转中心：作为角的顶点. (2)旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针 和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根 据以往的经验，我们可以把一对意义相反的 量用正负数来表示，那么许多问题就可以解 决了；

(3)旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超过360º , 角度的绝对值可大于360º .于是就会出现 720º , - 540º 等角度.

3.“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标 系中来讨论角。 角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合 于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几 象限，我们就说这个角是第几象限的角(角的 终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一

个象 限) 例如：30 、390 、 330 是第Ⅰ象限角， 300 、 60 是第Ⅳ象限角， 585 、1300 是第Ⅲ象限角， 135 、 2000 是第Ⅱ象限角等

4.终边相同的角⑴ 观察：390 , 330 角，它们的终边都与 30 角的终边相同. ⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0 到

360 的角与k(k∈Z)个周角的和：390 =30 +360 (k=1), 330 =30 360 (k=-1)

30 =30 +0×360 (k=0), 1470 =30 +4×360 (k=4) 1770 =30 5×360 (k=-5)

⑶ 结论： 所有与 终边相同的角连同 在内可以构 成一个集合：{β| β=α+k· 360º }(k∈Z) 即：任何一个与角 终边相同的角，都可 以表示成角 与整数个周角的和

⑷注意以下四点：

① k∈Z;② 是任意角；

③ k· 360º 与 之间是“+”号，如k· 360º -30º ,应看成k· 360º +(-30º );

④ 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们

相差360º 的整数倍.

例1. 在0º 到360º 范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.

(1) -120º ;(2) 640º ;(3) -950º 12′.解：⑴∵-120º =-360º +240º , ∴240º 的角与-120º 的角终边相同， 它是第三象限角. ⑵ ∵640º =360º +280º , ∴280º 的角与640º 的角终边相同， 它是第四象限角.

⑶ ∵-950º12’=-3×360º+129º48’,∴129º48’的角与-950º12’的角终边相同，

它是第二象限角.