大学物理第五版下册9-6阻尼振动 受迫振动 共振

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一

阻尼振动

– 6 阻尼振动 受迫振动 共振

现象：振幅随时间减小

原因：阻尼振动系统受摩擦、粘滞等阻力作用，造成热损耗； 振动能量转变为波的能量向周围传播或辐射。以第一种原因为例，建立阻尼振动的力学模型。第九章 振 动1

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– 6 阻尼振动 受迫振动 共振

阻力系数动力学分析： 阻尼力 Fr Cv kx Cv ma

d x dx m 2 C kx 0 dt dtd2 x dx 2 02 x 0 dt 2 dt

2

固有角频率

k 0 m C 2m阻尼系数

第九章

振 动

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– 6 阻尼振动 受迫振动 共振

A e t cos( t j ) x 角频率 振幅和 取决于初始状态。 为振动角频率

02 2T 2π

2 π 02 2为阻尼振动的振幅，随时间的增大而指数衰减。 越长。

越大，振幅衰减越快，且振动周期

第九章

振 动

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– 6 阻尼振动 受迫振动 共振

x Ae

t

cos( t j )

0 2

2

x AO

阻尼振动位移时间曲线

Ae

t

Ae t cos t

tT(j 0)

A

第九章

振 动

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三种阻尼的比较 (a)欠阻尼 2 0 2

(b)过阻尼 2 0 2 0

2

(c)临界阻尼

2

x

b

o c

t

a第九章 振 动5

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δ 相对较大的阻尼振动，其振幅衰减较快，但只要满足 δ ,振子仍可出现往复运动的特征，仍属阻尼振动。临界阻尼 δ 过阻尼 δ

– 6 阻尼振动 受迫振动 共振

欠阻尼

δ

,用此条件求解微分方程，其 若阻尼过大，以致 δ 结果表明(数学表达从略)振子不能作往复运动，而是从开 始的最大位置缓慢地回到平衡位置。此情况称为过阻尼。 若 δ ,振子从开始的最大位置较快地回到平衡位置， 并处于往复运动的临界状态。此情况称为临界阻尼。第九章 振 动6

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例 有一单摆在空气(室温为 20 C)中来 回摆动. 摆线长l 1.0 m,摆锤是半径 r 5.0 10 3 m 的铅球.求(1)摆动周期；(2)振幅减小 10%所需的时间；(3)能量减小10%所需 的时间；(4)从以上所得结果说明空气的 粘性对单摆周期、振幅和能量的影响. 3 3 20 (已知铅球密度为 2.65 10 kg m , C 5 时空气的粘度 1.78 10 Pa s )第九章 振 动7

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已知 l 1.0 m, r 5.0 10 3 m, 2.65 103 kg m 320 C, 1.78 10 Pa s 求(1)T

5

解 (1) 0 g l 3.13 s 1

Fr 6 π r v Cv

C 2m

9 4r 6.04 10 s2 4

1

0 2π 2π T 2s 2 2 0 0 第九章 振 动8

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已知 l 1.0 m, r 5.0 10 3 m, 2.65 103 kg m 3

A 20 C, 1.78 10 Pa s 求(2) 0.9 A, t ?

5

解 (2) 有阻尼时 A' Ae t ln( 1 ) 0.9 174 s 3 min t t1 0.9 A Ae1

E (3) 0.9E, t ?

E' A' 2 (3) ( ) e 2 t E A ln( 1 ) 2 t 0.9 87 s 1.5 min 0.9 e t2 2 2

第九章

振 动

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– 6 阻尼振动 受迫振动 共振

二周期性外力 (强迫力) 示意

受迫振动 p幅 值 角频率

系统在周期性外力的持续作用下所作 的等幅振动称为受迫振动。

p

弹性力

dx d2 x F cos pt C kx m 2 dt dt

驱动力

d2 x dx m 2 C kx F cos p t dt dt第九章 振 动

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– 6 阻尼振动 受迫振动 共振

d2 x dx m 2 C kx F cos p t dt dt驱动力

0 2

k m

2 C m

f F m

d x dx 2 2 0 x f cos p t 2 dt dt

第九章

振 动

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– 6 阻尼振动 受迫振动 共振

d x dx 2 2 0 x f cos p t 2 dt dt

驱动力的 角频率

x A0 e t cos( t j ) A cos( p t )经过不太长时间，阻尼振动衰减到很小，第一项趋于零，受 迫振动达到稳定状态，振动的周期即是驱动力的周期，振动 的振幅保持不变，受迫振动变为简谐振动。受迫振动进入稳定振动状态 后，其振动角频率为驱动力 的角频率 ，其振幅为

p

f A 2 2 2 2 ( 0 p ) 4 p第九章 振 动12

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– 6 阻尼振动 受迫振动 共振受迫振动与驱动力有一定的 相位差 ，用初相 Ψ 表示

tan

2 p

2 0

2 p

A和 Ψ 都和阻尼系数 、 驱动力的角频率 和 p 系统的固有角频率 有关。 0开始振动 比较复杂 经过一段时间后，受迫 振动进入稳定振动状态。 和

第九章

振 动

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三

共振

重点讨论受迫振动稳定状态时的振幅

A

f ( 02 p2 ) 4 2 p2

受迫振动的振幅A的大小与驱动力的角频率 p 有很大的关系 驱动力的角频率 p与固有角频率 0 相差较大时，振幅A较小； 当 p 为某一值时，振幅A达到最大值。

驱动力的角频率 p与固有角频率 0 接近时，振幅A随之增大；

驱动力的角频率为某一定值时，受迫振动的振幅达到 最大的现象叫做共振。

第九章

振 动

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– 6 阻尼振动 受迫振动 共振

计算共振角频率

f A ( 02 p2 )

4 2 p22 p f dA 2 2 2 2 dω p 0 p 4 2 p当

频率 p 等于共振角频率 r :

2 0

2 2

0 时，振幅A有最大值，此时驱动力的角32 2 0

2 2 2 p 0

2 p

r 2 f A 共振振幅： r 2 2 0 2 22 0 2

阻尼系数越小，共振角频率 越接近固有角频率，共振振 幅越大，当阻尼系数趋近于 零，振幅趋于无穷大。

第九章

振 动

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共振频率

共振频率2

r 0 2 2

A

小阻尼 阻尼 0

共振振幅 f Ar 2 2 2 0 共振现象及 应用 大阻尼

o第九章 振 动

0

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