湘潭大学现代物理导论2课件5.3动力学普遍方程

现代物理导论I

陈尚达

材料与光电物理学院

第五章 分析力学1、分析力学基本概念

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2、虚位移原理3、动力学普遍方程 4、拉格朗日方程 5、哈密度正则方程 6、泊松括号与泊松定理 7、哈密顿原理 8、正则变换

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虚位移原理求平衡位置 (1) 力具有势函数的平衡条件 如果质点系中每一个质点的作用力都具有势函 V V V , Fiy , Fiz , 数，那么 Fix xi yi zi代入虚功方程的直角坐标分量表达式

(F x F y F z ) 0i 1 xi i yi i zi i

N

V V V 有 ( xi yi zi ) 0 ,即 yi zi i 1 xiN

V 0

(5.2.1)

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具有势函数时的平衡条件是：势能具有稳定值，即势 能的变分为零。例如只有重力作用，那么 V 平衡时有

m gzi 1 i

N

i

V g ( mi zi ) g (MzC ) gM zC 0i 1

N

即在重力作用下平衡时，质心高度具有稳定值。

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(2)平衡的稳定性 设保守质点系仅有一个自由度， 广义坐标为 q , 势函数 V ( q ) , q0 为质点系的一个平衡位置，即 V q V V (q) V (q0 ) q

0q q0

将势函数 V ( q ) 在 q0 附近进行泰勒级数展开，

1 2V (q q0 ) 2 q 2 q q0

(q q0 ) 2 q q0

1 2V 忽略高阶小项， V (q) V (q0 ) 2 q 2

(q q0 ) 2q q0

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1 2V 将 V (q) V (q0 ) 2 q 2

(q q0 ) 2 对 q 求导，得到广义力q q0

V 2V Q 2 q q

(q q0 )q q0

2V 由上式可见， 如果 q 2是稳定平衡。

0 ,则广义力 Q 与位移 q q0q q0

方向相反，即广义力使质点恢复到平衡位置 q0 ,所以系统

2V 反之， q 2

0 ,则是不稳定平衡。q q0

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2V 对于 q 2断。 略。

0 ,不能判断平衡稳定性，需更高阶导数来判q q0

如果多个广义坐标(多自由度) ,平衡条件依然为

V 0 qs

( s 1, 2, n)

多个自由度系统的平衡稳定性略。

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例 1、长 l 的细杆，重 P,约束在一 光滑的铅垂圆环中， 圆环半径 R, 求 平衡位置及其稳定性。 解：系统有一个自由度，取 为广

y

义坐标，系统势能

C

x

V mg R (l / 2) sin 2 2

故

dV mg R 2 (l / 2) 2 cos 0 d d 2V mg R 2 (l / 2)2 sin , 3 d 2 , 2 2 d 2V / 2 时， 2 0 ,为稳定平衡。 d

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x a 2 xa cos (l x) 解：系统具有一个自由度， x 为广义 消去当系统平衡时，杆的质心在通过 坐标。 cos ,即得到

例 2、均质杆 AB

长 a,质量 m,两端 a 2 2 x l(l>a)的绳子连接，挂于光滑 (a / 2) 2 x cos s 2 用长 2 的2O 点，求平衡位置，及其稳定性。 2 2A

Ox

S

l- x

C

1 悬挂点 O x的铅锤线上，设 AB 的中线 S 2 2 2(l x) 2 a 2 2以 长 S, O 点为势能原点， 则杆的势能 为 V mgS mg 1 2 x 2 2(l x) 2 a 22

B

由平衡方程，得 V 2x l mg 0 2 2 2 x 2 x 2(l x) a

2V 2 mg 0 2 x l 2 a2 所以 x l / 2 即平衡时杆在水平位置。所以平衡是不稳定的。

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例 3、均质杆 OA 及 AB 在 A 点用铰 连接， 并在 O 点用铰支承， 如图所示。 两杆各长 2a 和 2b ,各重 P 及 P ,设 1 2 在 B 点加水平力 F 以维持平衡，求两 杆与铅直线所成的角 及 。解：取 点，则

x 轴为重力势能零点， y 轴为 F 势能零

V Pa cos P2 (2a cos b cos ) 1 F (2a sin 2b sin )Pa sin P 2a sin F 2a cos 0 1 2 P b sin F 2b cos 0 2

2F tg P1 2 P2

,

2F tg P2

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例 4、均质杆 AB 长 2a ,放在一半圆 B 板上，半径 R,如图所示。求平衡位 置。 解：取 为广义坐标，水平面为势能零点则

D

C

O

y

A

yc AD sin AC sin 2 R cos sin a sin

故势能

V Pyc P( R sin 2 a sin )dV 化简得： 平衡条件为 0 ,即 d a a 2 cos 1/ 2 ( ) 2R cos 2 a cos 0 8R 8R

5.3 动力学普遍方程

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(一)达朗伯原理 设质点系由 N 个质点组成，每一个质点加速度为 ai , ai ri ( ri 为质点的位失),则 Fi Ri mi ai 即 Fi Ri mi ai 0 令 i mi ai 称为惯性力，则 Fi Ri i 0 (5.3.1)

这就是达朗伯原理。表示主动力、约束力及假想的惯 性力必相互平衡。三种力构成的力系对任意中心的主 失和主矩都为零。

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对整个质点系，主动力系、约束反力系、惯性力系形 式上构成平衡力系。用方程表示为： Fi Ri i 0 (5.3.2) mO ( Fi ) mO ( Ri ) mO ( i ) 0将上面两式投影到直角坐标三个坐标轴上，有 Fix Rix ix 0 力平衡： Fiy Riy iy 0 Fiz Riz iz 0 力矩平衡：

mx ( Fi ) mx ( Ri ) mx ( i ) 0

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如果将主动力 Fi 和约束力 Ri 分为内力和外力，则 ( e) (i ) Fi Ri Fi Fi 并利用内力和为零及内力的力矩和为零，得到

(e) Fi i 0 (5.3.3) (e) mO ( Fi ) mO ( i ) 0达朗伯原理意义：动力学问题用静力学平衡方程求解，即所谓 的“动静法” 。 对于平面运动问题，有 Fx 0 , Fx ( e ) Rx 0

Fy 0 , mC ( F ) 0 ,

(5.3.4) Fy ( e ) Ry 0 mC ( F ( e ) ) M RC 0

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例1 均质杆长l ,质量m, 与水平面铰接, 杆由与平面成 0角位置

静止落下。求开始落下时杆AB的角加速度及A点支座反力。解： ① 选杆AB为研究对象 ② 受力分析如图； ③ 虚加惯性力系：

ml 2 ml 2 n RQ man 0 , M QA I A 3 ④ 取Atn坐标轴如图；t RQ

⑤ 根据达朗伯原理求解：

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Ft 0 , R A mgcos 0 RQ 0 (1) Fn 0 , R A mgsin 0 RQ 0 (2) m A ( F ) 0 , mgcos 0 l /2 M QA 0 (3)n n

t

t

由( 2)得: R A mgsin 0 ;n

由(3)得:

3g cos 0 ; 2l mg t 代入(1)得: R A cos 0 。 4