量子力学(第二版)答案 苏汝铿 第二章课后答案2.19-2#10

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2.19设势场为U r Br r, A,B 0 ，求粒子的能量本征值。 22

解：

径向部分的薛定谔方程为

l l 1 2 1d 2dR 2m2 E Br r2

R 0 r r2dr dr 2

令l l 1 l l

1

即l 2mA2

12再令 l l 1 1d 2dR 2

m

22r E m r R 0 2 22rdr dr r

k 引入变换R r re2r2l u r

2r2,s k22 2

则u u 所满足的方程是

d2u 3 l d 2 2

E

N

N 2nr l du sl 2 u 0 d 22 上式是合流超比方程，能谱是

E 2

nr l

将l 带入得

E 2nr 1

2.20一个质量为m的粒子被限制在半径为r a和r b的两个不可穿透的同心球面之间运动，不存在其他势场。求粒子的基态能量和基态波函数。

解：

势场为

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0 r a U r 0 a r b

r b

径向波函数

1d 2dR 2mE r 2R 0 a r b r2dr dr

满足边界条件R r |r a 0,R r |r b 0

引入变换

kr,k r, , RklYlm , ,Rkl u

得

2 l u u 1 u 0 2 1

方程的解是

Rkl r Ajl kr Bnl kr

当粒子处在基态时，带入边界条件得

0 Aj0 ka Bn0 ka

0 Aj0 kb Bn0 kb

0 Asinkacoska Bkaka sinkbcoskb0 A Bkbkb

sink r a

kr

k b a Rk0 C

k2 22

所以基态能量E 2m2m b a 22

C是归一系数。满足

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1 Rk0r2dr

C2

2

sin2k r a dr k

C2b a 2k2

C 2

所以基态波函数

k00

r a b a

2.21证明在非相对论量子力学中，在辏力场V r 中运动的粒子，其束缚态满足 0 2mdV r 1L2

32 dr2 r

1为单位） 式中 0 是原点的波函数，L2是角动量平方（选证明：

p2L2

H V r 22m2mr 222 d2dL H V r 2 22m drrdr 2mr

d 的对易子 和Hdr2dL2dV r d ,H 2 3 dr dr mrdrmr

在辏力场中，左边的平均值等于零，所以

2dV r L2d drmr3mr2dr

d 2rdrd 2mrdr

2d d *drmdr * 2

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d d * drdr drdr1d * dr2dr 1 * |r

r 02

21 0 2*

带入得 2dV r L2

*d d drdrdrmr3m

22 0 m

令 1 2

0 2mdV r 1L2

32 dr2 r