拉普拉斯变换在高等数学中的应用

第22卷第4期2009年12月

潍坊教育学院学报

JOURNALOFWEIFANGEDUCATIONALCOLLEGE

Vol.22No.4Dec.2009

拉普拉斯变换在高等数学中的应用

黄会芸

1,2

(1.东南大学数学系,江苏南京　211189;2.南京化工职业技术学院基础部,江苏南京　210096)

摘要:利用拉普拉斯变换的定义及其性质来求解概率密度、微分方程与积分方程,求解实变量的广义积分以及利用单位阶跃函数将分段函数化简为一个式子。

关键词:拉普拉斯变换;概率密度;微分方程;积分方程

中图分类号:O177.6　　　文献标识码:A　　　文章编号:1009-2080(2009)04-0044-02

引言

拉普拉斯变换是由复变函数积分引导出的一个非常重要的结论,它在应用数学中占有重要的地位。拉普拉斯变换的定义如下:如果在变实数t≥0上有定义的函数f(t)使积分

+∞0

T0

∞0

e-stf(t)dt=lim

T※∞

e-stf(t)dt对于已给的一些s存在,则称F(s)=f(t)e-stdt为函数f(t)的拉普拉斯变换。

1　利用拉普拉斯变换的卷积性质求解概率密度

+∞

卷积定义:设f1(t),f2(t)在(-∞,+∞)上有定义,若广义积分(-∞,+∞)上的卷积,记为f1(t)＊f2(t)

-∞

f1(t)f2(t-τ)dτ收敛,则称此积分为f1(t),f2(t)在

引理:设随机变量X与Y相互独立,其概率密度为fx(x),fy(y),则随机变量Z=X+Y的概率密度为fz(z)=f1(t)＊f2(t)

+∞

=

-∞

f1(t)f2(t-τ)dτ

例题1　设X与Y是两个相互独立的随机变量,且均在区间[0,1]上服从均匀分布,求Z=X+Y的密度函数。解:因X与Y独立,由卷积公式知fz(z)=

+∞-∞

fx(z-y)fy(y)dy

当z<0时,z-y与y至少有一个为负,被积函数为0,所以fz(z)=0

当0≤z<1时,欲使被积函数非零,必须有0≤z-y≤1,0≤y≤1,从而0≤y≤z,所以fz(z)=

z0

dy=z

z

当1≤z<2时,欲使被积函数非零,必须有0≤z-y≤1,0≤y≤1,从而z-1≤y≤1,所以fz(z)=

dy=2-z

z,0≤z≤1;

当z≥2时,0≤z-y≤1,0≤y≤1不可能同时满足,故fz(z)=0,综合起来,有fz(z)2-z,1≤z<2

0,其它

2　利用拉普拉斯变换解微分方程、积分方程

2.1　应用拉普拉斯变换求解常系数微分方程其求解方法大致分以下三个步骤:

(1)对原微分方程两端取拉普拉斯变换,同时结合其初始条件,将原常系数微分方程通过拉普拉斯变换转化为关于象函数的代数方程;

(2)求解象函数满足的代数方程,得到象函数;(3)对求得的象函数做拉氏逆变换,得原方程之解。

例题2　求方程x +3x″+3x′+x=1的满足初始条件x(0)=x′(0)=x″(0)=0的解。解:对方程两边施行拉普拉斯变换得(s3+3s2+3s+1)X(s)=

1

由此得:s

收稿日期:2009-05-17

作者简介:黄会芸(1979-),女(汉族),江西高安人,东南大学数学系在读硕士研究生,南京化工职业技术学院基础部教师.

111111

--查表)把上式右端分解成部分分式-对上式右端各项分别求出(s+1(s(s+1)s(s+1)ss+1)(s+1)

其原函数,则它们的和就是X(s)的原函数　　X(s)=

12-t12

te=1t+2t+2)e-1,这就是所要求的解。22

2.2　应用拉普拉斯变换求积分方程x(t)=1-e-t-te-t-t

例题3　解积分方程主y(t)=sint-2

y(τ)cos(t-τ)dτ

解:解此方程要用到拉普拉斯变换的卷积性质。令Y(s)=L[y(t)]则

-1-1

s)故Y(s)t)=L[Y(s)]=te-Y(于是y(

1+s1+s(1+s)

　　用拉普拉斯变换法解微分或者积分方程有以下几个优点:(1)求解过程规范,便于在工程技术中使用;(2)当初始条件全部

Y(s)=L[sint]-2L[y(t)]L[cost]=

为0时(这在工程中常遇到),用拉普拉斯变换求解就会特别简单,而用经典的方法求解不会如此简单;(3)当方程中的非齐次项(在工程中称为输入函数)具有跳跃点而不可微时,用经典的方法求解是很困难的,而用拉普拉斯变换不会带来任何困难;(4)在实际计算中可以用拉普拉斯变换表来求一些函数的像函数,这就使得求解方程变得更加方便。3　利用拉普拉斯变换求解实变量的广义积分

对于一些实变量的广义积分数学分析教材中提供的方法很难解出结果,我们可以通过引进参变量t,使其成为t的函数,再利用取拉普拉斯变换的方法,并使参变量t取某些特殊值,确定出积分的值。

+∞

例题4　计算积分　

+∞

xsinx

dxx+1

解:设f(t)=

dx取拉普拉斯变换并交换积分次序,得x2+1

+∞

+∞

+∞0

xsintx

F(s)=L[f(t)]=dxe-stdt=x+100

π

拉斯逆变换,即f(t)=L-1[F(s)]=

2e

+∞

xsinxπ

　　即dx=f(1)=2ex+10

x

x+1

+∞0

sintxe

-st

+∞

dtdx=

xxπ=再取拉普2(s+1)x+1s-1

4　利用拉普拉斯变换单位阶跃函数将分段函数化成一个式子

单位阶跃函数在电子技术中有广泛应用,其作用一般有如下两点:其一,对于任意一个函数f(t),t∈(-∞,+∞),用u(t)去乘,其积f(t)u(t)可使积分区间由(-∞,+∞)变成(0,+∞),这一点满足了拉普拉斯变换所需要的条件。所以借助于单位阶跃函数,能够准确地表述状态,从而正确地解决实际问题。其二,利用单位阶跃函数可以将某些分段函数合写成一个式子,使得问题简化,这就能更方便的利用拉氏变换来解决问题。因此在使用拉普拉斯变换时,必须要注意到单位阶跃函数的作用。

例题5　利用单位阶跃函数将分段函数写成一个式子,并求其拉普拉斯变换

2　0≤t<2

f(t)4　2≤t<46　4≤t<6

4　t≥6

解:从该函数可以看到当t≥2时,f(t)的值在2的基础上又增加了2,即增加了2u(t-2),当t≥4时,f(t)的值在4的基础上又增加了2,即增加了2u(t-4)当t≥6时,f(t)的值在6的基础上又增加了-2,即增加了-2u(t-6),所以,这个分段函数可表示为f(t)=2u(t)+2u(t-2)+2u(t-4)-2u(t-6)由拉普拉斯变换的线性性质及滞后性质有L[f(t)]=2L[u(t)]+2L[u(t-2)]+2L[u(t-4)]-2L[u(t-6)]=

2p

+e-2p+-6p=1+e-+e-4p-e-6p)。pppp

参考文献:

[1]王高雄,等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,1999:331.

[2]韩志刚.级数与拉普拉斯变换[M].北京:化学工业出版社,2003:86-87.

[3]薛以锋,等.复变函数与积分变换[M].上海:华东理工大学出版社,2001:148-150.[4]盛骤,等.概率论与数理统计:第2版[M].北京:高等教育出版社,2000.[5]张元林.积分变换:第四版[M].北京:高等教育出版社,2003:5.

(下转第55页)

真实思想,从而有针对性地制定相应教育对策,使德育工作更贴近学生实际。

另外,学校应加强校园网的建设,建设绿色网吧。充分利用网络为学生提供全面、完整、健康的信息,在满足学生强烈的信息需求的同时,使其免受不良信息的影响。教师要充分利用网络资源,采用BBS、聊天室、在线留言等多种形式与学生主动沟通,借助网络的匿名性和自由性等特点,掌握学生的

[3]

真实想法,进行适时引导。把学生从社会上不良的网络环境

使用网络语言,才能对大学生进行有效的教育。

3.学校要开展丰富多彩的课外活动,丰富大学生的课余生活。

根据赫希的社会约束理论:一个人花在阅读、做功课等正当活动上的时间越多,就越不会有额外的时间去胡思乱想,去违法犯罪。学校要根据大学生的特点和本校的 …… 此处隐藏：3082字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……