山东大学《高等数学》期末复习参考题 (15)

山东大学高数复习题

山东大学《数学分析III》期末复习参考题

题 号 得 分

一

二

三

四

总 分

一、填空题（共 10 小题，40 分）

1、设函数f(x,y)在有界闭区域D上有界，把D任意分成几个小区域Δσi(i=1,2,…,n)，在每一个小区域Δσi上任取一点(ξi,ηi),如果极限

存在(其中入是

___________________)，则称此极限值为函数f(x,y)在D上的二重积分，记作

2、设u=cosh(xy)+cos(xy)，则du= ______________.

3、设f(t)为连续函数，则由平面z=0，柱面x2+y2=1和曲面z=[f(xy)]2所围立体的体积可用二重积分表示为___________________________________________.

4、函数z=

x2+y2在闭域D:x+y≤1上的最小值是______________.

5、设函数F(u,v)具有一阶连续偏导数，且Fu(2, 6)=4,Fv(2, 6)=2，则曲面

F(x+y+z,xyz)=0在点(3, 2,1)处的切平面方程为______________.

6、极限lim

x→1y→0

arctan(x+y)

x+y

2

2

3

= _______ .

7、函数arcsin(x+y)的定义域为_______. 8、设f(x,y)是连续函数，则二次积分

9、设D：x2+y2≤2x,由二重积分的几何意义知

交换积分次序后为__________.

=________.

10、设向量场A=(z3+xy)i+(y3+2yz)j+(x3+3zx)k,则A的旋度rotA=__________.

二、选择题（共 5 小题，20 分）

1、设L是xoy平面上的一条光滑曲线弧，函数f(x,y)在L上有界。用L上的点M1，M2，…

设第i个小段的长度为ΔSi·(ζi,ηi)为第i小段上的一点，i=1,2,…,n。Mn－1把L分成n个小段。

则函数f(x,y)在曲线L上的对弧长的曲线积分

f(ξ , η)

S∑

λ

i

i

=

1n

( )

(A)

i

(B)limf(ξi , ηi) Si λ→0λ=1

(C)limf(ξi , ηi) Si,且极限值与L的分法无关，与(ξi,ηi)的取法无关。 λ→0λ=1

∑∑

n

n

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(D)limf(ξi , ηi) Si，其中ΔSi必须有相等的长度。 λ→0λ=1其中入为ΔSi的长度的最大值。 2、设C的曲线方程为

，则

( )

∑

n

3、设u=arctan

y u，则=( )

xx

(B)

(A)

y

22

x+y

x

22

x+y x

x2+y2

(C)

y

x2+y2

(D)

4、曲线x=t,y=4t,z=t2在点(4,8,16)处的法平面方程为( ) (A) x y 8z= 132 (B) x+y+8z=140 (C) x-y+8z=124 (D) x+y 8z=116 5、设C1、C2是围住原点的两条同向的封闭曲线。若已知则

( )

(A)一定等于K；

(C)不一定等于K，与C2形状有关；

(B)一定等于－K；

(D)不一定等于K，但与C2形状无关。

(常数)，

三、计算题（共 3 小题，30 分）

1、求函数z=ln(x+y+e)的全微分。

2

2

xy

2z

2、函数z=z(x,y)由方程e+yz+x=e+ln(1+x)所确定，求2

y

z

2

x=0y=0

。

3、

L

ydx+xdy,L是以A(1,0), B(0,1)及E(-1,0)为顶点的三角形正向周界；

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四、证明题（10 分）

2

设f(x,y)=Ax+2Bxy+Cy+2Dx+2Ey+F，且A>0,B AC<0，证明存

22

在一点(x0,y0)，使得f(x0,y0)为极小值。

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《数学分析III》期末试卷15答案与评分标准

一、填空题（共 10 小题，40 分）

1、△σi(i=1,2,…,n)的最大直径。 2、[sinh(xy) sin(xy)]

(ydx+xdy)

3、

[f(xy)]2dxdy.

4、zmin=z(0,0)=0 5、5y 4z+14=0 6、arctan1=

π

4

7、x2

+y2

≤1 8、dy

f(x,y)dx.

9、

π

10、{－2y,3z2－3x2－3z,－x}.

二、选择题（共 5 小题，20 分）

CCABC

三、计算题（共 3 小题，30 分）

1、解：

z

2x+yexy z

x=x2

2xy

, y=2y+xexy+y+e

x2+y2+e

xy dz=

1x2+y2

+e

xy[(2x+yexy)dx+(2y+xexy

)dy]

2、解：当x=0,y=0时, z=1

ez zy+z+yzy=0

z x=0= 1y

y=0

e

(4分)

ez (zy)2+ezzyy+2zy+yzyy=0

8分）

10分）

（ （

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2z y2

x=0y=0

=

1 2e

(10分)

3、解：AB:y=1 x,x从1变至0；

BE:y=x+1,x从0变至-1

EA:y=0,x从-1变至1 (4分)

原式=

dx+xdy

+

+

y0

1

=∫(1 x x)dx+∫(x+1 x)dx+0= 1 (101

四、证明题（10 分）

证明：由

fx=2Ax+2By+2D=0

，得驻点P(x fy

=2Bx+2Cy+2E=00,y0)其中x CD0=

BEAC B2,yBD AE

=AC B2

D=

fxxfxy2A2B

fyx

f=

yy

2B2C

D(P)=4(AC B2)>0

,fxx(P)=2A>0

故函数f(x,y)在点P(x0,y0)处取极小值f(x0,y0)。 分)

（4分）

（8分） （10分）