2015年高考数学理真题分类汇编：专题14 推理与证明、新定义

专题十四 推理与证明、新定义

1.【2015

高考湖北，理

9】已知集合A {(x,y)x2 y2 1,x,y Z}，

，

定

义

集

合

B {(x,y)|x| 2,|y| 2,x,y Z}

A B {(x,(x)，则B}A B中元素的个数为（ ） 1 x2,y1 y2(x1,y1) A2,y2

A．77 B．49 C．45 D．30 【答案】C

【解析】因为集合A {(x,y)x2 y2 1,x,y Z}，所以集合A中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合B {(x,y)|x| 2,|y| 2,x,y Z}中有25个元素（即25个点）：即图中正方形ABCD中的整点，集合A B {(x1 x2,y1 y2)(x1,y1) A,(x2,y2) B}的元素可看作正方形A1B1C1D1中的整点（除去四个顶点），即7 7 4 45个

.

【考点定位】1.集合的相关知识，2.新定义题型.

【名师点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.

2.【2015高考广东，理8】若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（ ） A．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3 【答案】C．

【解析】显然正三角形和正四面体的顶点是两两距离相等的，即n 3或n 4时命题成立，由此可排除A、B、D，故选C．

【考点定位】空间想象能力，推理能力，含有量词命题真假的判断．

【名师点睛】本题主要考查学生的空间想象能力，推理求解能力和含有量词命题真假的判断，

此题属于中高档题，如果直接正面解答比较困难，考虑到是选择题及选项信息可以根据平时所积累的平面几何、空间几何知识进行排除则不难得出正确答案C，由于n 3时易知正三角形的三个顶点是两两距离相等的从而可以排除A、B，又当n 4时易知正四面体的四个顶点也是两两距离相等的从而可以排除D．

3.【2015高考浙江，理6】设A，B是有限集，定义d(A,B) card(A B) card(A B)，其中card(A)表示有限集A中的元素个数，命题①：对任意有限集A，B，“A B”是“ d(A,B) 0”的充分必要条件；

命题②：对任意有限集A，B，C，d(A,C) d(A,B) d(B,C)，（ ） A. 命题①和命题②都成立 B. 命题①和命题②都不成立 C. 命题①成立，命题②不成立 D. 命题①不成立，命题②成立 【答案】

A.

【考点定位】集合的性质

【名师点睛】本题是集合的阅读材料题，属于中档题，在解题过程中需首先理解材料中相关概念与已知的集合相关知识点的结合，即可知命题①正确，同时注重数形结合思想的运用，若用韦恩图表示三个集合A，B，C，则可将问题等价转化为比较集合区域的大小，即可确定集合中元素个数大小的比较.

4.【2015高考北京，理8】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述

了甲、乙、丙

三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）

A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 【答案】D

【解析】“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A错误；B中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B错误，C中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80km，消耗8升汽油，C错误，D中某城市机动车最高限速80千米/小时. 由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油,选D.

考点：本题考点定位为函数应用问题，考查学生对新定义“燃油效率”的理解和对函数图象的理解.

【名师点睛】本题考查对新定义“燃油效率”的理解和读图能力，本题属于中等题，有能力要求，贴近学生生活，要求按照“燃油效率”的定义，汽车每消耗1升汽油行驶的里程，可以断定“燃油效率”高的车省油，相同的速度条件下，“燃油效率”高的汽车，每消耗1升汽油行驶的里程必然大，需要学生针对四个选择只做出正确判断.

5.【2015高考福建，理15】一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2 xnn N* ，其中

xk k 1,2, ,n 称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生

码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0），已知某种二元码x1x2 x7 的码元满足如下

x4 x5 x6 x7 0,

校验方程组： x2 x3 x6 x7 0,

x x x x 0,

357 1

其中运算 定义为：0 0 0,0 1 1,1 0 1,1 1 0．

现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于 ． 【答案】5．

【考点定位】推理证明和新定义．

【名师点睛】本题以二元码为背景考查新定义问题，解决时候要耐心读题，并分析新定义的特点，按照所给的数学规则和要求进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的． 6.【2015高考山东，理11】观察下列各式：

C10 40

1

C30 C3 41

1C50 C5 C52 42;

013C7 C7 C72 C7 43

……

照此规律，当n N时，

012n 1C2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1 【答案】4

n 1

【考点定位】1、合情推理；2、组合数.

【名师点睛】本题考查了合情推理与组合数，重点考查了学生对归纳推理的理解与运用，意在考查学生观察、分析、归纳、推理判断的能力，关键是能从前三个特殊的等式中观察、归纳、总结出一般的规律，从而得到结论.此题属基础题. 7.【2015江苏高考，23】（本小题满分10分）

已知集合X 1,2,3 ，Yn 1,2,3, ,n (n N*)，Sn (a,b)a整除b或b整除a,

a X,b Yn ，令f(n)表示集合Sn所含元素的个数.

（1）写出f(6)的值；

（2）当n 6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明.

nn

n 2 ,n 6t

23

n 1n 1 n 2 ,n 6t 1

3 2

nn 2 n 2 ,n 6t 2

23

【答案】（1）13（2）f n

n 2 n 1 n ,n 6t 3

3 2

n 2 n n 1 ,n 6t 4

3 2

n 2 n 1 n 2 ,n 6t 5

3 2

【解析】

试题分析：（1）根据题意按a分类计数：a 1,b 1,2,3,4,5,6;a 2,b 1,2,4,6;a 3,b 1,3,6;共13个（2）由（1）知a 1,b 1,2,3, ,n;a 2,b 1,2,4, ,2k;a 3,b 1,3, ,3k;(k N*)，所以当n 6时，f(n)的表达式要按2 3 6除的余数进行分类，最后不难利用数学归纳法进行证明

试题解析：（1）f 6 13．

2,k 1 ， 3,k 1 中产生，分以下情形讨论：

1）若k 1 6t，则k 6 t 1 5，此时有f k 1 f k 3 k 2

k 1k 2

3 23

k 1 2

k 1k 1

，结论成立； 23

kk

1 23

2）若k 1 6t 1，则k 6t，此时有f k 1 f k 1 k 2

k 1

k 1 1 k 1 1 ，结论成立； 2

2

3

k 1k 1

2 23

3）若k 1 6t 2，则k 6t 1，此时有f k 1 …… 此处隐藏：4014字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……