6.函数的凸性与曲线的拐点

§6 函数的凸性与曲线的拐 点二、曲线的拐点及其求法 三、函数图形的描绘

一、凸函数的概念及其判别法

在前两节中，我们研究 了函数的单 调性和极值，但这些还 不能完全反应出 函数的特性及函数图形 的特点.函数的单 调性反映在图形上，就 是曲线的上升或 下降.但是曲线在上升或下降 的过程中， 还有一个弯曲方向的问 题.

例如函数y x 与y 2

x,在闭区间 [0,1]上，

它们具有相同的单调性 (单调增加),并且 有相同的最小值0和最大值1,但是，它们的 图形却有明显的差别， 两条曲线的弯曲方向 完全相反.因此，研究函数以及函 数图形时， 还需要考察它的弯曲方 向.

x y

2

y x

2

我们从几何上看到，一般说来，曲线有 两种弯曲方向，如果任取两点，则联结这两 点的弦总位于这两点间的弧段的上方(如图 1 ) , 向上弯(即向下凸) .而有的曲线弧，则正好相 反(如图2 ),向下弯(即向上凸) .曲线的这种 性质就是曲线的凹凸性.因此曲线的凹凸性可以 用联结曲线弧上任意两点的弦的中点与曲线弧 上的相应点(即具有相同横坐标的点)的位置 关系来描述，下面给出曲线的凹凸性的定义.5

问题:如何研究曲线的弯曲方向?yy f ( x)

y

y f ( x)

o

x1

x2 x

o

x1

x2

x

(图1)图形上任意弧段位 (图2)图形上任意弧段位 于所张弦的上方 于所张弦的下方6

一、凸函数的概念及其判别法1、凸函数的定义yf ( x1 ) f ( x2 ) 2

yy f ( x)

f(

x1 x 2 ) 2

y f ( x)f ( x1 ) f ( x 2 ) 2

f ( x1 )

x x2 f( 1 ) 2x1 x 2 2

f ( x2 )x2

f ( x2 )

f ( x1 )

o

x1

x

o

x1

x1 x 2 2

x2

x

(图1)图形上任意弧 段位于所张弦的下方

(图2)图形上任意弧 段位于所张弦的上方

定义

2、曲线凹凸的判别法定理1

x1 x 2 (1)设x1和x 2为[a , b]内任意两点，记x , 2 由泰勒公式, 注意到f ( x ) 0.有 f ( 1 ) f ( x1 ) f ( x ) f ( x )( x1 x ) ( x1 x ) 2 2! f ( x ) f ( x )( x1 x )( 1在x1与x之间) (1) f ( 2 ) 2 f ( x 2 ) f ( x ) f ( x )( x 2 x ) ( x2 x ) 2! f ( x ) f ( x )( x 2 x )( 2 在x 2与x之间) ( 2)11

证明

把( 1 )与( 2 )两端分别相加，得到 x1 x 2 f ( x1 ) f ( x 2 ) 2 f ( x ) 2 f 2 x1 x 2 f ( x1 ) f ( x 2 ) 即f , 2 2 所以f ( x )是[a , b]的下凸函数 同理可证( 2 ) .12

1 x )是上凸函数. 例1 验证函数y l n ( 解 函数y l n ( 1 x )的定义域为( 1, ),由于 1 y 0 2 (1 x ) 所以函数y l n ( 1 x )是 ( 1, )上凸函数.

例2

判断曲线 y x 的凹凸性.3 2 解 y 3 x , y 6 x , y 0, 当x 0时，

所以曲线 在( ,0]为上凸的； 当x 0时，y 0,

所以曲线 在[0, )为下凸的；注意到, 点(0,0)是曲线上凸与下凸的分 界点.14

确定函数 y f ( x )的凹凸区间的一般步骤 ： ( 1 )求出函数 f ( x )的定义域及二阶导数 f ( x ); (2 ) 求出 f ( x ) 0的点及 f ( x )不存在的点； (3 )用( 2 )中的点把定义域分成 若干子区间， 在每个子区间内判别f ( x )的符号； ( 4 )按定理得到函数 f ( x )在每个子区间的凸性 .

二、曲线的拐点及其求法1.定义

应当注意，拐点是曲线 上的点，要求用 两个坐标( x0 , f ( x0 ))表示曲线y f ( x )的 拐点.例如, 曲线y x 的拐点写成( 0, 0 ) .316