数学应用题的几类建模方法

数学应用遗的儿类走拱力法

口奠绍弟

（桂林工学院广西 桂林５４１００４）

摘要本文介绍了数学应用题的解题中，利用数学建模思想来建立几种教学模型：“函数”模型、“概率与统计”模型、

“方程ｆ组）”模型、“排列组合”模型等。并对这些数学模型进行了解题策略分析，并找到一定的规律，拘造了相应的解决问题

的模型。在具体解决实际问题时，要注意认清问题的特征，灵活运用有数的方法，建立相关的数学模型，以便快速合理的解央问题．从而达到提高建立数学模型解决实际问题的能力。

关键词方程函数概率统计排列组合

中图分粪号：０１—６４

文献标识码：Ａ

１谴着科学技术的迅速发展，实际『口｜题中利用数学建模解决的应用题越来越多。在近年来高考中也作为一种重要题型而频繁出现．并有进一步加强的趋势。在学生学习中提高这类问题的解题能力就显得特别重要。因此从生活经验出发，将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而获得对数学理解的同时，使思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展，并提高和建立数学

模型解决实际问题的能力。

一、建立“函数”模型

函数反映了事物间的广泛联系，揭示了现实世界众多的数量关系及运动规律。日常生活中的许多问题，诸如造价成本最低、生产利润最大、风险决策、股市期货、开源节流、扭亏增盈、方案最优化等问题的研究，可以建立“函数”模型求解。

例ｌ：一商场经销某种电器．根据销售情况年进货量为５００（】台，

分若干次进货着每台电器价格为２４００元，每次进货需费用１６００元

（包括运输等各种赞用）。且在售完该电器时能立即进货，每一台电器的年库存保管费率为ｌｏ％。为降低成本，使一年的进货费用和库存保管费用之和最省．每次应进货多少台？此时一年的进货费与库存

保管费之和是多少？

ｆ分析】：本题研究的是在“（１）销售是连续均匀的，每次进货费用是不变的；（２）当库存量降到。时，货物的补充可在瞬间完成；（３）不允许缺货”这些前提下进行的。崮此我们对题目相关变量进行分析假

设：每次进货台，开始的库存量为台，经过一个周期的正常销售后，库

存量变为零，商场又开始下一次的进赞。因此平均库存量为毒台。

年库存保管费＝库存量（台）×每台价格×１０％＝喜 ２４００－

１０％（元）

叉每次进货；台每年共需进货主垡旦次撤共需进货费羔！！堕．

１６００（元）

崮此每年总费川ｙ：至！！堕 １６（）０＋妻－２４００－１０％（元）只要确

定使总费用最小。

解：设每次进货台，则｜ｈ上述分析知，每年总费用（进货费与库存

保管费之和１为

ｙ：ｉ些旦．１６００十要．２４００．１０％

＞２、／皇笋㈣ｏ‘专“００１０％

为００００元．

当日仅当主垡塑．１６０。：毒．２４００．１０％

即ｘ－２５０时取等号，此时町取最小值６００００

为６㈣元。

答：每次进货２５０台时，一年的进货费与库存保管赞之和最省．

例２：（２０００年高考题）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知．从二月一日起的３００天内。｛！Ｉｉ红柿市场售价与上市时间的

２１０

万　

方数据文章编号：１６７２—７８９４【２００７）０９—２１０—０２

图２的抛物线表示。

（１泻出图ｌ表示的市场

４Ｌ砌

３００２００１［ｍＱ：酬；

但硅～定市场售价减去种植０

１００

２００

３００

成本为纯收益，问何时上市的

西红柿纯收益最大“注：市场售价和种植成本的单位：元

，１０毛☆时间单位：天）

１分析１：一次分段函数式

可利用直线方程求出，二次

函数可用顶点式表示，复台后仍为分段函数。本题口ｎ“函数图像建立函数关系式，图２

再由二次函数求出最值。

…ｆ３（）（】ｔ，０≤ｔ≤２Ｉ）０

～１２ｔ一３００．２００＜ｔ≤３００

ｇ怍击“州ｏ）２＋１００，ｏ‘‘‘３００

㈨博糍藁：

ｈ（ｆ）＝一杀ｉ（ｆ－５０）＇＋１（】０‘ｗ

所以，当ｔ－５０时．ｈ（Ｏ在区间【ｏ，２０叫卜的最大值为ｌｏｏ

当２００＜ｔ≤３００时．配方整理得

ｈ（１）一葫严３５雌、１００

所以，当ｔ＝３００时，ｈ（Ｏ在区帕Ｊ犯０ｎ３００）上的最大值为８７５综上，｝｝『１００）８７５可知＇ｈ（Ｉ）在区间忆３００】上可取的最夫值为１（】０，此时ｔ＝５０１即从二月一日开始的第５０天，上市的西红柿纯收益摄大

二、建立‘‘概率与统计”模型

“概率与统旷’知识现实生活中葙着广泛的应用，要学会如何

收集数据和分析数据，深刻理解用样本估ｆｒ整体的基本统ｊｔ思想，掌

握相互独立事件的概率、随机变量的分布列及期望、线性规划等基础知识，建立数学模型解奂实际问题的能力。

关系用图ｌ的一折线表示；西红柿的种植成奉与卜市时间的关系用

售价与时间的函数关系式ｐ＝㈣；写出国２的表示的种

植成本与时忸｜的函数关系式

封敏毛ｉｃ

２００７９

（中旬刊）

圃

例３：有甲、乙两位射击运动员在相同条件Ｆ各射击１０次，各

次命中环数为：甲撤Ｒ、乱８、６、５、９、１０、７、４，己：９、５、７、８、７、６、８矗

８、７（１）分别计算他们环数的方差；（２）谁的射击情况比较稳定。

［分析】：（１）本题由于两个样本平均数都爿；是整数，且各样本数据

都不大，用ｓ２＝』（∑ｘｉ２＿ｎｘ）计算，比较简捷。

（２）标准擦差与平均数结合起来可“反映该平均数的代表性。两组数据．当其算术平均数相同时，为产生哪一组平均数代表性最好问题时，可用标准差来反陕：标准差大，表明数据距其平均数分散。标准差小．表明数据距其平均数不那么分散。据此，町以说标准弗小的那个算术平均数代表日“组数据的代表性更好。

解：…

ｘ＿２击（８＋８＋“８＋６＋５＋９“ｏ门＋４】＿７

１

ｘ

Ｌ＝去（９＋５＋７＋８十７＋６＋８十６＋８＋７）＝７．１

ｓ＿≮击（８斗８斗６２＋８２＋６２＋５２＋舛１帆７Ⅵ２—１０×７

１，＝３

０９

ｓ

６

２＝去（９２＋５、７２＋８２＋７２＋６、８斗６～８，十７Ｌｌｏ×７

ｌ，＝ｌ２９

伫）因ｓ

ｚ

ｋｓｒ一２，故乙射击情况比较稳定。

例４：（２００５年江西高考题）Ａ、Ｂ两位同学各有５张卡片．现以拉掷均匀硬币的形式进行辩戏。当出现正面朝上时Ａ赢得Ｂ一张

卡片，卉则Ｂ赢得Ａ一张卡片，规定投掷硬币的次数丛到９次时，

或在此前某人已赢得所有卡片时游戏结束。（Ｉ）求￡的取值范围；

（２）求∈的期望。

［分析Ｊ：本题的难点在于列出混合组确定ｅ的取值。另外在＂算Ｐ（∈＝９）时若从正面人手较难解决问是ｌ【。

解：（１）设限面、反面向上的次数分别为ｍ、ｎ，则

ｆｍ＿ｎ１＿５

，

陋笔或ｆ皇鬟。

前者的解为：（ｍ．ｒ归（５．Ｏ）或（０，５）时．∈＝５；

（ｍ，ｎ）＝（６，１）或【ｌ，６）时，￡＝７；（叽１１）＝口， …… 此处隐藏：2779字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……