23.3.2相似三角形的判定(2)

华师大版九年级数学上册

相似三角形的判定定(二)

SAS

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相似三角形的判定定理 (2)SAS

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一、如何判断两三角形是否相似?1.定义法:两三角形对应角相等，对应边的比相等的两个三角形相似

2.平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或 两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角 形相似。3、AA法：两角对应相等，两三角形相似A D E C E D

A

∵ DE∥BC ∴ △ ADE ∽ △ ABCC

B

B

A型

X型

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问题？类似于判定三角形全等的SAS方法，我 们还能不能通过两边和它们的夹角来判断 两个三角形相似呢？

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观察和猜想观察左图，如果有一点E在 边AC上移动，那么点E在什 么位置时能使△ADE与 △ABC相似呢？图中△ADE与△ABC的一组对 应边AD与AB的长度的比值 1 为 3 ,将点E由点A开始在 AC 1 上移动，可以发现当AE= 3 AC时， △ADE与△ABC似乎相 似，此时 AD =________AB

C

B E D A E’

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如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比 例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

A两边对应成 比例

A’B’

BA'B' A'C' = AB AC

C∠A=∠A’

C’

△ABC∽△A’B’C’

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反思：你能说出这个定理的证 明思路吗？

要证明 △ABC∽△A’B’C’, 可以先作一个与 △ABC全等的三角形， 证明它与△A’B’C’ 相似.这里所作的 三角形是证明的中 介，它把 △ABC△A’B’C’联系 起来.

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证明：在边A’B’或A‘B’的延长线上截取AD‘=AB, △ADE∽△ABC A 过点D作B’C’的平行线交A’C’于点E,则/

\又

A' D A'E = A' B ' A'C ' AB AC = ,且A ' D = AB. A' B ' A' C '

在△A’DE和△ABC中 A‘D=AB, ∠A=∠A′ A’E=AC ∴△A’DE≌△ABC ∴△ABC∽△A′B′C′

AC A ' E \ = , ∴AC=A’E A' C ' A' C '

DB/A

E

C/

B

C

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相似三角形判定定理(二):如果两个三角形的两组对应边成比例， 且它们的夹角相等,那么这两个三角形 相似.简称：两边成比例且夹角相等的 两个三角形相似。 A

数学 符号 语言

A’

º

BB A '' C A '' = ,且? A AB AC A'

C B’

C’

△ABC∽△A’B’C’

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.根据下列条件,判断△ABC与△A’B’C’是否相似, 并说明理由: ∠A=40º,AB=8,AC=15,

∠A’=40º,A’B’=16,A’C’=30.

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例4

证明下图中的△AEB和△FEC相似B

证明： AE = 54 = 1.5,FE 36

45E 54 30 C

36

F

A BE 45 = = 1.5, CE 30 又∵∠AEB=∠FEC ∴△AEB∽△FEC

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例2 如图，四边形ABDC、DCEF、EFHG都是正方形。

(1)找出图中的一对相似三角形，并证明它们相似。(2)求证：∠1+∠2+∠3=90º (1)答:△ADF∽△HDA 证明：设正方形的边 长为1,即DF=1,由 勾股定理得AD= 2 DH=2在△ADF和△HAD中 又∵∠ADF=∠HDA∴△ADF∽△HDA

AD HD 2 = = FD AD 1

∴∠2=∠DAH 又∵∠1=45º,且 ∠1=∠DAH+∠3

∴∠1=∠2+∠3=45º

∴∠1+∠2+∠3=

45º+45º=90º

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课后小结相似三角形的判定方法： 1、定义：(三组边成比例，三组角相等); 2、平行法：平行于三角形一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似; 3、AA法：判定定理(一)两角对应相等，两三 角形相似

4、SAS法：判定定理(二)如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对 应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相 似。

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作业

2、课本75页 习题23.3的第 4题的第(3) 小题。

C

A

D

E

B