考点04 函数的概念(定义域、值域、解析式、分段函数)-2016届高考

【考点剖析】

1.最新考试说明：

(1)了解函数、映射的概念；

(2)理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法； (3)会求一些简单函数的定义域;

(4)分段函数及其应用：了解简单的分段函数，并能简单应用.

2.命题方向预测：

预计2016年高考对函数及其表示的考查仍以函数的表示法、分段函数、函数的定义域等基本知识点为主，题型延续选择题、填空题的形式，分值为4分到5分.

3.课本结论总结：

中学数学的很多领域都涉及定义域，忽视定义域将对后续的复习带来困难，由函数的解析式求函数的定义域的解题过程可总结为：考察 整合 化简 结论，即先对解析式中的各部位进行必要的考察，得到自变量x应满足的条件，再把上述条件整合成自变量x应满足的不等式（组），解这个不等式（组）得到的解集即为函数的定义域.

4.名师二级结论：

形如y ax 的函数的值域的求法：可令x cos (0 )或x sin (

2

2

)，利用

三角换元求

解，如果是更复杂的式子，如：y ax b

x

(0

)，y ax b

x 5.课本经典习题：

利用三角公式或其他方法解决. (1)新课标A版第17页，例1

已知函数f(x) （1）求函数的定义域； （2）求f( 3)，f()的值；

（3）当a 0时，求f(a)，f(a 1)的值

1

， x 2

23

【经典理由】对于函数定义域的求解给出了总结，也从抽象-具体的给出函数值的概念及其当自变量取定义域内某一值时，函数值的求法.

(2)新课标A版第18页，例2 下列函数中哪个与函数y x相等？

x2

（1

）y ；（2

）y 3

）y 4）y .

x

2

【经典理由】给出了函数相等的定义，并对如何判断两个函数相等作出了总结.

6.考点交汇展示： (1)函数与方程相结合

例1. 【2015高考江苏，13】已知函数f(x) |lnx|，g(x) 实根的个数为

0,0 x 1

，则方程|f(x) g(x)| 12

|x 4| 2,x 1

(2)函数与不等式相结合

2x 1

fx） 3成立的x的取值范围为( ) 例2【2015高考山东，文8】若函数f(x) x是奇函数，则使（

2 a

（A）

(

) (B)(

（0,1）（1, ）) （C） （D）

(3)函数与集合相结合

例3设全集为R,

函数f(x)M, 则CRM为（ ） A. [－1,1] B. (－1,1) C.( , 1] [1, ) D. ( , 1) (1, )

【考点分类】

热点1 函数的定义域和值域

x2 5x 6

1. 【2015高考湖北，文6

】函数f(x) lg的定义域为（ ）

x 3

A．(2,3) C．(2,3) (3,4] 2. 设函数f

x

B．(2,4] D．( 1,3) (3,6]

M，函数g x ln 1 x 的定义域为N，则（ ） A.M N 1,1 B.M N R C.CRM [1, ) D.CRN ( , 1) 3. 下列函数中,与函数

定义域相同的函数为（ ）

A．y=

1 sinx

B．y=

1nx

x

C．y xe

x

D．

sinx

x

4. 已知函数f(x)的定义域为( 1,0)，则函数f(2x 1)的定义域（ ） A．( 1,1) B．( 1, ) C．( 1,0) D．(,1) 【方法规律】与定义域有关的几类问题

第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；

第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义； 第三类是不给出函数的解析式，而由f(x)的定义域确定函数f[g(x)]的定义域或由f[g(x)]的定义域确定函数f(x)的定义域．

第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决．

【解题技巧】求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.其求解根据一般有：(1)分式中,分母不为零;(2)偶次根式中,被开方数非负;(3)对数的真数大于0:(4)实际问题还需要考虑使题目本身有意义.体现考纲中要求了解一些简单函数的定义域,来年需要注意一些常见函数:带有分式,对数,偶次根式等的函数的定义域的求法

【易错点睛】求复合函数y f(t)，t q(x)的定义域的方法：

①若y f(t)的定义域为(a,b)，则解不等式得a q(x) b即可求出y f(q(x))的定义域；②若

1212

y f(g(x))的定义域为(a,b)，则求出g(x)的值域即为f(t)的定义域，如第4题，首先根据条件f(x)

的定义域为( 1,0)，可令 1 2x 1 0，解得 1 x

11

，即f(2x 1)的定义域为( 1, ).

22

热点2 函数的解析式

1.【2014高考安徽卷文第6题】设函数f(x)(x R)满足f(x ) f(x) sinx.当0 x 时，f(x) 0，则f(

23

) （ ） 6

A.

311

B. C.0 D.

222

3

2

2. 【2014浙江高考文第6题】已知函数f(x) x ax bx c,且0 f( 1) f( 2) f( 3) 3,则（ ）

A.c 3 B.3 c 6 C.6 c 9 D. c 9 3. 下列函数中,不满足f(2x) 2f(x)的是（ ） A．f(x) x

B．f(x) x x C．f(x) x

D．f(x) x

4. 【2015届高考苏教数学（文）训练4 函数及其表示】二次函数f(x)满足f(x 1) f(x) 2x，且f(0) 1,则f(x) ________.

【解题技巧】(1)配凑法：由已知条件f(g(x)) F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；

(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；

(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；

(4)方程思想：已知关于f(x)与f()或f( x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).

【易错点睛】解决函数解析式问题，必须优先考虑函数的定义域，用换元法解题时，应注意换元前后的等价性，例如第11题，在利用换元法保证换元前后的等价性,

1

x

2

1 t进行整体代换后，由x 0可知t 1，因此必须说明t 1从而x

热点3 分段函数

1,

1. 【2015高考湖北，文7】设x R，定义符号函数sgnx 0,

1,

x 0,

x 0, 则（ ） x 0.

A．|x| x|sgnx| C．|x| |x|sgnx

B．|x| xsgn|x| D．|x| xsgnx

2.【2015高考山东，文10】设函数f(x) （A）1 （B）

3x b,x 15

f(f()) 4，则b ( )，若x

6 2,x 1

731

（C） (D) 842

x2 1,x 0

3.【2014高考福建卷第7题】已知函数f x 则下列结论正确的是（ ）

cosx,x 0

A.f x 是偶函数 B. f x 是增函数 C.f x 是周期函数 D.f x 的值域为 1,

x2,x 1

4.【2015高考浙江，文12】已知函数f x ，则f 6 f 2 ，f x 的最

x 6,x 1

x

小值是 ．

【方法规律】对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外，要注意自变量x的取值对应着哪一段区间，就使用哪一段解析式，体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用，来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式，千万别代错解析式.